Derivate direzionali
Sia data la funzione $f(x,y)=(x^2)/(x^2+y^2)$
Si esibisca una direzione lungo la quale la derivata direzionale non esiste.
Si esibisca una direzione lungo la quale la derivata direzionale non esiste.
Risposte
La funzione è differenziabile in tutto il suo dominio (che suppongo sia $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\})$...
ok, allora adesso considera una funzione definita come sopra e che vale $0$ in $(0,0)$... è ancora vero quello che dici?
In $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ ovviamente è lo stesso, per vedere cosa succede in $(0,0)$ prova a studiare il limite
$\lim_{h \to 0} \frac{h^2 v_1^2}{h (h^2 v_1^2 + h^2 v_2^2)}$
al variare di $v_1$ e $v_2$, tenendo conto che deve risultare $v_1^2 + v_2^2 = 1$.
$\lim_{h \to 0} \frac{h^2 v_1^2}{h (h^2 v_1^2 + h^2 v_2^2)}$
al variare di $v_1$ e $v_2$, tenendo conto che deve risultare $v_1^2 + v_2^2 = 1$.
direi che la derivata rispetto alla direzione $(1,0)$ non esiste perchè, svolti i conti, si ha
$\lim _{h \to 0}\frac{1}{h}$ che non esiste (fa $+\infty$ per h che tende a 0 da dx, e $-\infty$ per h che tende a 0 da sx)
$\lim _{h \to 0}\frac{1}{h}$ che non esiste (fa $+\infty$ per h che tende a 0 da dx, e $-\infty$ per h che tende a 0 da sx)
Io direi che in $(0,0)$ la funzione è derivabile solo nella direzione di $(0,1)$...
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