Derivate direzionali

[fireball1]

Calcolare le derivate direzionali della funzione
$f(x,y)=(|x|+|y|)sqrt(x^2+y^2), " "(x,y) in RR^2
nel punto di coordinate $(1,-1)$.
Vi risulta (essendo $v=(a,b)$):
$D_v f(1,-1) = 2sqrt2(a-b)$ ?

[fireball1]

La stessa funzione vi risulta inoltre
derivabile (quando si dice derivabile
per una funzione di più variabili a valori
reali, si intende "derivabile parzialmente",
ovvero le derivate parziali esistono) e
anche differenziabile in $RR^2\\{(0,0)}$ ?

[fireball1]

Quando potete...

[Fioravante Patrone1]

"fireball":La stessa funzione vi risulta inoltre
derivabile (quando si dice derivabile
per una funzione di più variabili a valori
reali, si intende "derivabile parzialmente",
ovvero le derivate parziali esistono) e
anche differenziabile in $RR^2\\{(0,0)}$ ?

fuori dagli assi coordinati certamente è bella liscia

prendiamo l'asse $x$, escludendo al momento l'origine.
La funzione, ristretta all'asse delle $x$ è abbastanza liscia, essendo uguale a $|x|\sqrt{x^2} = |x^3|$
cosa succede se ci si avvicina ad un punto, diciamo ad esempio $(3,0)$ da una direzione diversa, esempio dalla direzione verticale
ti ritrovi $|3 + y|\sqrt{9 + y^2}$
che per $y$ piccoli è uguale a $(3 + y)\sqrt{9 + y^2}$, ergo liscia...
visto questo, giusto per "carburare" (sono le 8 di sabato mattina!) basta considerare la funzione:
$|x + y|\sqrt{x^2 + y^2}$ e osservare che, per $(x,y)$ vicini a $(3,0)$, $|x+y|$ è vicino a $|3|$, ovvero $3$ e quindi la funzione coincide con $(x + y)\sqrt{x^2 + y^2}$

et voilà, quel cattivaccio del valore assoluto non c'è più. No problem per la differenziabilità. E' infinitamente liscia!

vedere poi anche cosa succede nell'origine lo lascio a te, visto che ormai ti sei svegliato e hai tutto il sabato davanti

PS: visto che, per l'appunto, sono le 8 di sabato mattina, vale a maggior ragione il solito: s.e.o.

[fireball1]

Grazie!