Derivate direzionali
Parlando di funzioni in due variabili a valori reali, ho sempre pensato -al di là della definizione rigorosa - di poter interpretare la derivata direzionale nel punto $x_0$ lungo la direzione $v$ come la derivata della restrizione della funzione alla retta passante per il punto $x_0$ con direzione $v$. Però svolgendo un esercizio sono incappato in un'incongruenza. So che lungo la retta $y=x$ la funzione $f$ vale $2x$: avevo pensato di poter concludere immediatamente che quindi la derivata nella direzione $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$ fosse costantemente uguale a $2$, mentre invece svolgendo il limite del rapporto incrementale in $(0,0)$ mi viene $sqrt(2)$... Che cosa ho frainteso di preciso? (spero di essermi spiegato)
Risposte
"Oromis":
Parlando di funzioni in due variabili a valori reali, ho sempre pensato -al di là della definizione rigorosa - di poter interpretare la derivata direzionale nel punto $ x_0 $ lungo la direzione $ v $ come la derivata della restrizione della funzione alla retta passante per il punto $ x_0 $ con direzione $ v $. Però svolgendo un esercizio sono incappato in un'incongruenza. So che lungo la retta $ y=x $ la funzione $ f $ vale $ 2x $: avevo pensato di poter concludere immediatamente che quindi la derivata nella direzione $ (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2) $ fosse costantemente uguale a $ 2 $, mentre invece svolgendo il limite del rapporto incrementale in $ (0,0) $ mi viene $ sqrt(2) $... Che cosa ho frainteso di preciso? (spero di essermi spiegato)
Chiedo scusa, ma... qual era la funzione $z=f(x,y)$ di partenza?
Saluti.
Sapevo soltanto che la funzione valeva $2x$ lungo la retta $y=x$ non avevo una formula esplicita.
mah da così non si capisce molto..però secondo me è giusto quello che dici..ovviamente quanto parametrizzi la retta nel dominio della funzione di 2 variabili, "il punto di partenza" deve essere quello in cui calcoli la derivata e una volta calcolata poni il parametro =0....non so se mi sono spiegato!:)...nel senso che la retta che costituisce la restrizione deve partire dal punto in cui calcoli la derivata..
Il valore $sqrt(2)$ risulta anche a me.
Attenzione, avendo, in sostanza, $z=f(x,x)=2x$ questo non è equivalente a considerare la retta $z=f(x,0)=2x$ nel piano $Ozx$; in quest'ultimo caso avresti ragione ad aspettarti derivata direzionale pari a $2$, lungo il versore $(1,0)$.
Ma nel caso da te riportato, affermare, in sostanza, che la funzione, lungo il versore $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$, dovrebbe comportarsi come si dovrebbe comportare $2x$ lungo il versore $(1,0)$ non è esatto, perchè $x$ cresce in un certo modo lungo l'asse $x$, mentre un punto che si muove lungo la retta indicata da $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$, fisicamente parlando "non si muoverebbe lungo quella retta con la stessa velocità con cui $x$ si muoverebbe lungo l'asse $x$".
Cerco di spiegarmi in altro modo; muovendosi lungo $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$, si avrebbe un innalzamento del valore della funzione pari a due non facendo aumentare x di un'unità lungo la retta individuata dal versore in questione, ma incrementando $x$ di $sqrt(2)$ lungo la stessa retta; bene, questo incremento di $sqrt(2)$ lungo la retta in questione, corrisponderebbe ad un incremento unitario lungo l'asse $x$.
Spero di non aver generato ulteriore confusione.
Saluti.
Attenzione, avendo, in sostanza, $z=f(x,x)=2x$ questo non è equivalente a considerare la retta $z=f(x,0)=2x$ nel piano $Ozx$; in quest'ultimo caso avresti ragione ad aspettarti derivata direzionale pari a $2$, lungo il versore $(1,0)$.
Ma nel caso da te riportato, affermare, in sostanza, che la funzione, lungo il versore $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$, dovrebbe comportarsi come si dovrebbe comportare $2x$ lungo il versore $(1,0)$ non è esatto, perchè $x$ cresce in un certo modo lungo l'asse $x$, mentre un punto che si muove lungo la retta indicata da $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$, fisicamente parlando "non si muoverebbe lungo quella retta con la stessa velocità con cui $x$ si muoverebbe lungo l'asse $x$".
Cerco di spiegarmi in altro modo; muovendosi lungo $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$, si avrebbe un innalzamento del valore della funzione pari a due non facendo aumentare x di un'unità lungo la retta individuata dal versore in questione, ma incrementando $x$ di $sqrt(2)$ lungo la stessa retta; bene, questo incremento di $sqrt(2)$ lungo la retta in questione, corrisponderebbe ad un incremento unitario lungo l'asse $x$.
Spero di non aver generato ulteriore confusione.
Saluti.
Forse ho capito più o meno, il punto è che la retta $y=x$ non è il mio asse coordinato, quindi $y=2x$ non è classica retta che mi aspetterei sul piano $xy$ ma è come se fosse proiettata in qualche modo...
Grazie mille!
Grazie mille!
"Oromis":
Forse ho capito più o meno, il punto è che la retta $ y=x $ non è il mio asse coordinato, quindi $ y=2x $ non è classica retta che mi aspetterei sul piano $ xy $ ma è come se fosse proiettata in qualche modo...
Grazie mille!
Precisamente.
Saluti.
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