Derivate direzionali
Buongiorno a tutti...
Io non ho assolutamente la più pallida idea di come si risolva una derivata direzionale rispetto a un vettore dato...
Ho un po' di confusione in testa...
Partiamo dal punto che conosco l'esistenza della formula del gradiente... Che da quanto so può essere utilizzata solo nel caso in cui la funzione sia differenziabile nel punto scelto. Altrimenti utilizzo la formula $ lim_(t -> 0) (f(x0 + tv) - f(x0))/ t $
È corretto?
Però io non capisco come risolvere gli esercizi... Perché data una funzione f(X,Y) devo scrivere g(t) = f(t cos (theta), t sen (theta)) ??
Qualcuno può aiutarmi a chiarire le idee??
Grazie mille in anticipo a tutti
Io non ho assolutamente la più pallida idea di come si risolva una derivata direzionale rispetto a un vettore dato...
Ho un po' di confusione in testa...
Partiamo dal punto che conosco l'esistenza della formula del gradiente... Che da quanto so può essere utilizzata solo nel caso in cui la funzione sia differenziabile nel punto scelto. Altrimenti utilizzo la formula $ lim_(t -> 0) (f(x0 + tv) - f(x0))/ t $
È corretto?
Però io non capisco come risolvere gli esercizi... Perché data una funzione f(X,Y) devo scrivere g(t) = f(t cos (theta), t sen (theta)) ??
Qualcuno può aiutarmi a chiarire le idee??
Grazie mille in anticipo a tutti
Risposte
L'uso della funzione ausiliaria \(g\) è un optional (i.e., non è obbligatorio), e si spiega così.
Detto \(\mathbf{v}\) è il versore della direzione lungo la quale vuoi calcolare la derivata, e detto \(\mathbf{x}_0\) il punto in cui vuoi calcolare la derivata direzionale, ponendo per semplicità \(g(t):=f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{v})\) riesci a scrivere:
\[
\lim_{t\to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{v}) - f(\mathbf{x}_0)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{g(t)-g(0)}{t}
\]
con il secondo membro che è più familiare, in quanto coinvolge solo una funzione di una variabile, i.e. la funzione ausiliaria \(g\).
Se stai operando nel piano, allora \(\mathbf{x}_0=(x_0,y_0)\) e \(\mathbf{v}=(v_x,v_y)\) hai:
\[
g(t):=f(x_0+tv_x, y_0+tv_y)\; ;
\]
tuttavia, se tieni presente che l'essere \(\mathbf{v}\) un versore implica che esiste un angolo \(\theta \in [0,2\pi[\) tale che \(\mathbf{v}=(\cos \theta , \sin \theta)\), puoi pure scrivere:
\[
g(t):=f(x_0+t\cos \theta, y_0+t\sin \theta)\; .
\]
Nella pratica, puoi scegliere di introdurre la notazione \(g\), o anche di non farlo... Dipende da come ti viene più facile.
Detto \(\mathbf{v}\) è il versore della direzione lungo la quale vuoi calcolare la derivata, e detto \(\mathbf{x}_0\) il punto in cui vuoi calcolare la derivata direzionale, ponendo per semplicità \(g(t):=f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{v})\) riesci a scrivere:
\[
\lim_{t\to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{v}) - f(\mathbf{x}_0)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{g(t)-g(0)}{t}
\]
con il secondo membro che è più familiare, in quanto coinvolge solo una funzione di una variabile, i.e. la funzione ausiliaria \(g\).
Se stai operando nel piano, allora \(\mathbf{x}_0=(x_0,y_0)\) e \(\mathbf{v}=(v_x,v_y)\) hai:
\[
g(t):=f(x_0+tv_x, y_0+tv_y)\; ;
\]
tuttavia, se tieni presente che l'essere \(\mathbf{v}\) un versore implica che esiste un angolo \(\theta \in [0,2\pi[\) tale che \(\mathbf{v}=(\cos \theta , \sin \theta)\), puoi pure scrivere:
\[
g(t):=f(x_0+t\cos \theta, y_0+t\sin \theta)\; .
\]
Nella pratica, puoi scegliere di introdurre la notazione \(g\), o anche di non farlo... Dipende da come ti viene più facile.
Un esercizio di questo tipo nella pratica come lo risolvo? Ho la soluzione ma non ci capisco niente...
Non sono in grado di fare 1 esercizio spiegato in modo completo sui libri... (O magari sono io ignorante e non capisco un tubo..)
Beh, devi calcolare esplicitamente il limite:
\[
\lim_{t\to 0} \frac{f(\mathbf{0} + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{0})}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+ t\cos \theta , 0+t\sin \theta) - f(0,0)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{f(t\cos \theta , t\sin \theta) - f(0,0)}{t}
\]
tenendo presente che il valore di tale limite dipende da \(\theta\).
Prova un po'.
\[
\lim_{t\to 0} \frac{f(\mathbf{0} + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{0})}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+ t\cos \theta , 0+t\sin \theta) - f(0,0)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{f(t\cos \theta , t\sin \theta) - f(0,0)}{t}
\]
tenendo presente che il valore di tale limite dipende da \(\theta\).
Prova un po'.
Se funziona solo in questo modo dovrei aver capito. Mi sorge però un problema.
Io ho questo esercizio:
$ f (x,y) = x(y)^(1/3) $
il testo mi chiede di calcolare le derivate parziali di $ f(x,y) $ e la derivata direzionale nel punto (1,-1) secondo il vettore $ ul(v) = (-1/(2^(1/2)),1/(2^(1/2))) $
ho iniziato calcolandomi le derivate parziali e mi risulta
$ f'x = (y)^(1/3) $ e $ f'y = (1/3)(x/(y)^(2/3)) $
per questo motivo posso affermare che f(x,y) non è derivabile nei punti (x,0).
Ora se non sbaglio posso procedere in due modi:
1 modo: verifico che f è differenziabile nel punto (-1,1) e se lo è applico la formula del gradiente per calcolarmi la derivata direzionale
2 modo: applico la formula $ lim_(t -> 0) (f(ulx0 + tulv)- f(ulx0))/t $ e calcolo questo limite.
Con entrambi i metodi mi sorgono però dei problemi.
1 modo: mi risulta che la funzione non è dfferenziabile
2 modo: mi risulta che il limite vale $ oo $
ora mi chiedo:
- perchè il libro applica subito la formula del gradiente senza verificare che la funzione sia differenziabile?
- perchè a me la funzione non risulta differenziabile?
- perchè il limite con t che tende a zero mi risulta infinito?
O faccio una gran confusione e tutto quello che ho scritto è errato oppure sbaglio coi calcoli..
chiedo a voi se potete confermarmi che la funzione è differenziabile, che posso applicare la formula del gradiente e che il limite non mi deve risultare infinito.
grazie a tutti in anticipo
Io ho questo esercizio:
$ f (x,y) = x(y)^(1/3) $
il testo mi chiede di calcolare le derivate parziali di $ f(x,y) $ e la derivata direzionale nel punto (1,-1) secondo il vettore $ ul(v) = (-1/(2^(1/2)),1/(2^(1/2))) $
ho iniziato calcolandomi le derivate parziali e mi risulta
$ f'x = (y)^(1/3) $ e $ f'y = (1/3)(x/(y)^(2/3)) $
per questo motivo posso affermare che f(x,y) non è derivabile nei punti (x,0).
Ora se non sbaglio posso procedere in due modi:
1 modo: verifico che f è differenziabile nel punto (-1,1) e se lo è applico la formula del gradiente per calcolarmi la derivata direzionale
2 modo: applico la formula $ lim_(t -> 0) (f(ulx0 + tulv)- f(ulx0))/t $ e calcolo questo limite.
Con entrambi i metodi mi sorgono però dei problemi.
1 modo: mi risulta che la funzione non è dfferenziabile
2 modo: mi risulta che il limite vale $ oo $
ora mi chiedo:
- perchè il libro applica subito la formula del gradiente senza verificare che la funzione sia differenziabile?
- perchè a me la funzione non risulta differenziabile?
- perchè il limite con t che tende a zero mi risulta infinito?
O faccio una gran confusione e tutto quello che ho scritto è errato oppure sbaglio coi calcoli..
chiedo a voi se potete confermarmi che la funzione è differenziabile, che posso applicare la formula del gradiente e che il limite non mi deve risultare infinito.
grazie a tutti in anticipo
Chiariamo innanzitutto le definizioni base:
Detto ciò, hai:
Inoltre:
Siano \(X\subseteq \mathbb{R}^N\) non vuoto, \(\mathbf{x}_0\in X\) un punto di accumulazione per \(X\) ed \(f:X\to \mathbb{R}\) una funzione di \(N\) variabili.
Si dice che \(f\) è continua in \(\mathbf{x}_0\) se:
\[
\tag{1}
\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0)\; .
\]
Siano \(X\subseteq \mathbb{R}^N\) non vuoto, \(\mathbf{x}_0\in X\) un punto interno ad \(X\) ed \(f:X\to \mathbb{R}\) una funzione di \(N\) variabili.
Si dice che \(f\) è derivabile in \(\mathbf{x}_0\) rispetto alla \(n\)-esima variabile se, detto \(\mathbf{e}_n\) lo \(n\)-esimo vettore della base canonica di \(\mathbb{R}^N\)[nota]Ricordo che i vettori della base canonica di \(\mathbb{R}^N\) sono quelli che hanno \(=1\) un'unca coordinata e tutte le rimanenti coordinate nulle; quindi \(\mathbf{e}_1=(1,0,0,\ldots,0)\), \(\mathbf{e}_2=(0,1,0,\ldots,0)\), e così via.[/nota], si ha:
\[
\tag{2}
\lim_{h\to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0+h\mathbf{e}_n) - f(\mathbf{x}_0)}{h} \text{ esiste finito}\; .
\]
In tal caso il valore numerico del limite (2) si chiama derivata parziale prima di \(f\) in \(\mathbf{x_0}\) rispetto alla \(n\)-esima variabile e si denota con uno dei seguenti simboli:
\[
\frac{\partial f}{\partial x_n} (\mathbf{x}_0),\ f_{x_n}(\mathbf{x}_0),\ \operatorname{D}^{\mathbf{e}_n} f(\mathbf{x_0})\; .
\]
Si dice che \(f\) è derivabile in \(\mathbf{x}_0\) quando \(f\) è derivabile in \(\mathbf{x}_0\) rispetto a tutte le variabili da cui essa dipende, cioé quando la (2) sussiste per ogni indice \(n=1,2,\ldots ,N\).
In tal caso, il vettore che ha per componenti le derivate parziali prime di \(f\) calcolate in \(\mathbf{x_0}\) prese nell'ordine si chiama gradiente di \(f\) in \(\mathbf{x}_0\) e si denota col simbolo \(\nabla f(\mathbf{x_0})\); quindi, per definizione:
\[
\nabla f(\mathbf{x_0}) = \left( f_{x_1}(\mathbf{x}_0), f_{x_2}(\mathbf{x}_0),\ldots ,f_{x_N}(\mathbf{x}_0)\right)\; .
\]
Siano \(X\subseteq \mathbb{R}^N\) non vuoto, \(\mathbf{x}_0\in X\) un punto interno ad \(X\), \(f:X\to \mathbb{R}\) una funzione di \(N\) variabili e \(\mathbf{v}\in \mathbb{R}^N\) un versore[nota]Cioé un vettore avente modulo unitario, i.e. con \(|\mathbf{v}|=1\).[/nota].
Si dice che \(f\) è derivabile in \(\mathbf{x}_0\) rispetto alla direzione \(\mathbf{v}\) se risulta che:
\[
\tag{3}
\lim_{h\to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0+h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x}_0)}{h} \text{ esiste finito}\; .
\]
In tal caso il valore numerico del limite (3) si chiama derivata direzionale di \(f\) in \(\mathbf{x}_0\) rispetto alla direzione \(\mathbf{v}\) e si denota usualmente col simbolo:
\[
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{x}_0)\; .
\]
Si dice che \(f\) è derivabile in \(\mathbf{x}_0\) rispetto ad ogni direzione quando la (3) è soddisfatta per ogni versore \(\mathbf{v}\in \mathbb{R}^N\).
Siano \(X\subseteq \mathbb{R}^N\) non vuoto, \(\mathbf{x}_0\in X\) un punto interno ad \(X\) ed \(f:X\to \mathbb{R}\) una funzione di \(N\) variabili.
Si dice che \(f\) è differenziabile in \(\mathbf{x}_0\) se esiste un vettore \(\mathbf{L}=\mathbf{L}_{\mathbf{x}_0}\in \mathbb{R}^N\) tale che:
\[
\tag{4}
\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0} \frac{f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0) - \langle \mathbf{L}, \mathbf{x}-\mathbf{x}_0\rangle}{|\mathbf{x} -\mathbf{x}_0|} =0
\]
in cui \(\langle\cdot , \cdot \rangle\) denota il prodotto scalare di due vettori di \(\mathbb{R}^N\).
La funzione \(\text{d}_{\mathbf{x}_0} f(\mathbf{u}):= \langle \mathbf{L}_{\mathbf{x}_0},\mathbf{u}\rangle \), che è un'applicazione lineare definita in \(\mathbf{R}^N\), si chiama differenziale di \(f\) in \(\mathbf{x}_0\).
Detto ciò, hai:
Se \(\mathbf{x}_0\) è un punto interno a \(X\), allora valgono le seguenti implicazioni:
\[
\begin{split}
f \text{ differenziabile in } \mathbf{x}_0\ &\Rightarrow\ f \text{ derivabile in } \mathbf{x}_0 \text{ rispetto a tutte le direzioni}\\
&\Rightarrow\ f \text{ derivabile in }\mathbf{x}_0\\
&\Rightarrow\ f \text{ continua in } \mathbf{x}_0
\end{split}
\]
ed, in generale, nessuna delle implicazioni precedenti si inverte, cioé:
\[
\begin{split}
f \text{ continua in } \mathbf{x}_0\ &\not\Rightarrow\ f \text{ derivabile in }\mathbf{x}_0\\
&\not\Rightarrow\ f \text{ derivabile in } \mathbf{x}_0 \text{ rispetto a tutte le direzioni}\\
&\not\Rightarrow\ f \text{ differenziabile in } \mathbf{x}_0
\end{split}
\]
Inoltre:
Se \(\mathbf{x}_0\) è un punto interno a \(X\) e se \(f\) è differenziabile in \(\mathbf{x_0}\), si ha:
\[
\mathbf{L} = \nabla f(\mathbf{x_0})
\]
e:
\[
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} (\mathbf{x}_0) = \langle \nabla f(\mathbf{x_0}),\mathbf{v}\rangle
\]
per ogni direzione \(\mathbf{v}\).
Ok.. Questo mi è chiaro..
Io però so che "se una funzione f é differenziabile in (x0,y0), allora la derivata direzionale nella direzione del versore v si può calcolare con la formula del gradiente"
Ora mi chiedo... Dato l'esercizio
Come fa il libro a risolverlo in questo modo:
Voglio dire... Perché usa la formula del gradiente senza verificare che la funzione sia differenziabile?
Se io usassi la formula generale per la differenziabilità (quella del limite) dovrebbe uscirmi lo stesso risultato?
A me non esce ne lo stesso risultato e neppure che la f è differenzaibile...
Io però so che "se una funzione f é differenziabile in (x0,y0), allora la derivata direzionale nella direzione del versore v si può calcolare con la formula del gradiente"
Ora mi chiedo... Dato l'esercizio
"wackos":
$ f (x,y) = x(y)^(1/3) $
il testo mi chiede di calcolare le derivate parziali di $ f(x,y) $ e la derivata direzionale nel punto (1,-1) secondo il vettore $ ul(v) = (-1/(2^(1/2)),1/(2^(1/2))) $
Come fa il libro a risolverlo in questo modo:
Voglio dire... Perché usa la formula del gradiente senza verificare che la funzione sia differenziabile?
Se io usassi la formula generale per la differenziabilità (quella del limite) dovrebbe uscirmi lo stesso risultato?
A me non esce ne lo stesso risultato e neppure che la f è differenzaibile...
Lo fa perché si vede ad occhio che la funzione \(f(x,y):=x\sqrt[3]{y}\), che è definita in tutto \(\mathbb{R}^2\), è differenziabile in tutti i punti del piano che hanno ordinata \(\neq 0\).
Ciò è conseguenza del Teorema del Differenziale: infatti, essendo le due derivate parziali \(f_x\) ed \(f_y\) continue in tutti i punti che hanno \(y\neq 0\), il teorema assicura la differenziabilità in tutti tali punti.
In particolare, dato che \(\mathbf{x}_0=(1,-1)\) ha ordinata \(\neq 0\), la \(f\) è differenziabile in \(\mathbf{x}_0\) e si può applicare la formula del gradiente per concludere che:
\[
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} (1,-1) = \langle \nabla f(1,-1), \mathbf{v}\rangle = \frac{4}{3\sqrt{2}}\; .
\]
Ciò è conseguenza del Teorema del Differenziale: infatti, essendo le due derivate parziali \(f_x\) ed \(f_y\) continue in tutti i punti che hanno \(y\neq 0\), il teorema assicura la differenziabilità in tutti tali punti.
In particolare, dato che \(\mathbf{x}_0=(1,-1)\) ha ordinata \(\neq 0\), la \(f\) è differenziabile in \(\mathbf{x}_0\) e si può applicare la formula del gradiente per concludere che:
\[
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} (1,-1) = \langle \nabla f(1,-1), \mathbf{v}\rangle = \frac{4}{3\sqrt{2}}\; .
\]
continuo a non capire...
se io voglio applicare la definizione di differenziabilità non dovrebbe uscirmi comunque?
il punto è che non mi esce che il limite non è finito... Quindi la funzione non è differenziabile.. e di conseguenza non potrei applicare la formula del gradiente..
se io voglio applicare la definizione di differenziabilità non dovrebbe uscirmi comunque?
il punto è che non mi esce che il limite non è finito... Quindi la funzione non è differenziabile.. e di conseguenza non potrei applicare la formula del gradiente..
Certo che deve uscirti... Ed infatti lo fa.
Allora, dato che \(f\) è derivabile parzialmente in \(\mathbf{x}_0=(1,-1)\) e che:
\[
f_x(\mathbf{x}_0) = \left. \sqrt[3]{y}\right|_{(1,-1)} = -1\quad \text{e}\quad f_y (\mathbf{x}_0) = \left. \frac{x}{3\sqrt[3]{y^2}}\right|_{(1,-1)} = \frac{1}{3}
\]
nel limite che ti consente di stabilire la differenziabilità puoi usare direttamente \(\mathbf{L}=\nabla f(\mathbf{x}_0)=(-1,1/3)\); quindi devi calcolare:
\[
\begin{split}
\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0} \frac{f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0) - \langle \mathbf{L}, \mathbf{x}-\mathbf{x}_0\rangle }{|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|} &= \lim_{(x,y)\to (1,-1)} \frac{x\sqrt[3]{y} + 1 + (x-1) - \frac{1}{3} (y+1)}{\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2}}\; .
\end{split}
\]
Facendo la sostituzione \(h=x-1\) e \(k=y+1\), il limite al secondo membro si riscrve:
\[
\begin{split}
\lim_{(x,y)\to (1,-1)} \frac{x\sqrt[3]{y} + 1 + (x-1) - \frac{1}{3} (y+1)}{\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2}} &\stackrel{\begin{cases} h=x-1 \\ k=y+1\end{cases}}{=} \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{(h+1)\sqrt[3]{k-1} + 1 + h - \frac{1}{3}\ k}{\sqrt{h^2 + k^2}}\\
&= \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{(h+1) \left( \sqrt[3]{k-1} + 1 - \frac{1}{3}\ k\right) + \frac{1}{3}\ hk}{\sqrt{h^2 + k^2}}\; .
\end{split}
\]
Se \(k=0\), la funzione sotto il segno di limite è identicamente nulla, ergo il suo limite è pure nullo; se \(k\neq 0\), usando l'approssimazione di Taylor:
\[
\sqrt[3]{k-1} = -1 + \frac{1}{3} k + \frac{1}{9} k^2 + \text{o}(k^2)
\]
ottieni:
\[
\begin{split}
\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{(h+1)\sqrt[3]{k-1} + 1 + h - \frac{1}{3}\ k}{\sqrt{h^2 + k^2}} &= \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{(h+1)\left( \frac{1}{9} k^2 + \text{o}(k^2) \right) + \frac{1}{3}\ hk}{\sqrt{h^2+k^2}} \\
&= \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{(h+1)\ \left(k^2+\text{o}(k^2)\right)}{9\sqrt{h^2+k^2}} + \frac{hk}{3\sqrt{h^2+k^2}}\; ;
\end{split}
\]
dato che per \(h,k\in \mathbb{R}\) risulta:
\[
2\ |h|\ |k|\leq h^2+k^2
\]
si ha pure:
\[
\left| \frac{\frac{1}{3}\ hk}{\sqrt{h^2+k^2}}\right| \leq \frac{1}{3}\ \frac{|h|\ |k|}{\sqrt{2\ |h|\ |k|}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}\ \sqrt{|h|\ |k|}
\]
dunque:
\[
\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{hk}{3\sqrt{h^2+k^2}} =0\; ;
\]
d'altra parte, visto che:
\[
\left| (h+1)\ \frac{k^2+\text{o}(k^2)}{9\sqrt{h^2+k^2}}\right| \leq |h+1|\ \frac{|k^2+\text{o}(k^2)|}{9\sqrt{k^2}} = \frac{1}{9}\ |h+1|\ \left| |k| + \frac{\text{o}(k^2)}{|k|}\right|
\]
hai pure:
\[
\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{(h+1)\ \left(k^2+\text{o}(k^2)\right)}{9\sqrt{h^2+k^2}} =0\; .
\]
Da ciò segue che:
\[
\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0} \frac{f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0) - \langle \mathbf{L}, \mathbf{x}-\mathbf{x}_0\rangle }{|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|} =0\; ,
\]
sicché \(f\) è differenziabile in \((1,-1)\).
Da ciò concludi che è lecito applicare la formula del gradiente.
Analogamente, se volessi procedere direttamente, cioé utilizzando la definizione per calcolare la derivata direzionale, dovresti calcolare il:
\[
\lim_{t\to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{v}) - f(\mathbf{x}_0)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{\left( 1-\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\ \sqrt[3]{1+\frac{t}{\sqrt{2}}} +1}{t}\; ,
\]
che è roba da Analisi I.
Allora, dato che \(f\) è derivabile parzialmente in \(\mathbf{x}_0=(1,-1)\) e che:
\[
f_x(\mathbf{x}_0) = \left. \sqrt[3]{y}\right|_{(1,-1)} = -1\quad \text{e}\quad f_y (\mathbf{x}_0) = \left. \frac{x}{3\sqrt[3]{y^2}}\right|_{(1,-1)} = \frac{1}{3}
\]
nel limite che ti consente di stabilire la differenziabilità puoi usare direttamente \(\mathbf{L}=\nabla f(\mathbf{x}_0)=(-1,1/3)\); quindi devi calcolare:
\[
\begin{split}
\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0} \frac{f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0) - \langle \mathbf{L}, \mathbf{x}-\mathbf{x}_0\rangle }{|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|} &= \lim_{(x,y)\to (1,-1)} \frac{x\sqrt[3]{y} + 1 + (x-1) - \frac{1}{3} (y+1)}{\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2}}\; .
\end{split}
\]
Facendo la sostituzione \(h=x-1\) e \(k=y+1\), il limite al secondo membro si riscrve:
\[
\begin{split}
\lim_{(x,y)\to (1,-1)} \frac{x\sqrt[3]{y} + 1 + (x-1) - \frac{1}{3} (y+1)}{\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2}} &\stackrel{\begin{cases} h=x-1 \\ k=y+1\end{cases}}{=} \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{(h+1)\sqrt[3]{k-1} + 1 + h - \frac{1}{3}\ k}{\sqrt{h^2 + k^2}}\\
&= \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{(h+1) \left( \sqrt[3]{k-1} + 1 - \frac{1}{3}\ k\right) + \frac{1}{3}\ hk}{\sqrt{h^2 + k^2}}\; .
\end{split}
\]
Se \(k=0\), la funzione sotto il segno di limite è identicamente nulla, ergo il suo limite è pure nullo; se \(k\neq 0\), usando l'approssimazione di Taylor:
\[
\sqrt[3]{k-1} = -1 + \frac{1}{3} k + \frac{1}{9} k^2 + \text{o}(k^2)
\]
ottieni:
\[
\begin{split}
\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{(h+1)\sqrt[3]{k-1} + 1 + h - \frac{1}{3}\ k}{\sqrt{h^2 + k^2}} &= \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{(h+1)\left( \frac{1}{9} k^2 + \text{o}(k^2) \right) + \frac{1}{3}\ hk}{\sqrt{h^2+k^2}} \\
&= \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{(h+1)\ \left(k^2+\text{o}(k^2)\right)}{9\sqrt{h^2+k^2}} + \frac{hk}{3\sqrt{h^2+k^2}}\; ;
\end{split}
\]
dato che per \(h,k\in \mathbb{R}\) risulta:
\[
2\ |h|\ |k|\leq h^2+k^2
\]
si ha pure:
\[
\left| \frac{\frac{1}{3}\ hk}{\sqrt{h^2+k^2}}\right| \leq \frac{1}{3}\ \frac{|h|\ |k|}{\sqrt{2\ |h|\ |k|}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}\ \sqrt{|h|\ |k|}
\]
dunque:
\[
\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{hk}{3\sqrt{h^2+k^2}} =0\; ;
\]
d'altra parte, visto che:
\[
\left| (h+1)\ \frac{k^2+\text{o}(k^2)}{9\sqrt{h^2+k^2}}\right| \leq |h+1|\ \frac{|k^2+\text{o}(k^2)|}{9\sqrt{k^2}} = \frac{1}{9}\ |h+1|\ \left| |k| + \frac{\text{o}(k^2)}{|k|}\right|
\]
hai pure:
\[
\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{(h+1)\ \left(k^2+\text{o}(k^2)\right)}{9\sqrt{h^2+k^2}} =0\; .
\]
Da ciò segue che:
\[
\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0} \frac{f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0) - \langle \mathbf{L}, \mathbf{x}-\mathbf{x}_0\rangle }{|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|} =0\; ,
\]
sicché \(f\) è differenziabile in \((1,-1)\).
Da ciò concludi che è lecito applicare la formula del gradiente.
Analogamente, se volessi procedere direttamente, cioé utilizzando la definizione per calcolare la derivata direzionale, dovresti calcolare il:
\[
\lim_{t\to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{v}) - f(\mathbf{x}_0)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{\left( 1-\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\ \sqrt[3]{1+\frac{t}{\sqrt{2}}} +1}{t}\; ,
\]
che è roba da Analisi I.
Ok... non sono capace... non ho mai visto tutta quella roba per la risoluzione di un limite sinceramente..
ho però appena scoperto che se f è $ C^1 $ in un punto e se è continua in quel punto allora è differenziabile e non mi serve calcolare il limite con (h,k) che tendono a zero... quindi posso applicare la formula del gradiente.. è vero?
ho però appena scoperto che se f è $ C^1 $ in un punto e se è continua in quel punto allora è differenziabile e non mi serve calcolare il limite con (h,k) che tendono a zero... quindi posso applicare la formula del gradiente.. è vero?
"wackos":
Ok... non sono capace... non ho mai visto tutta quella roba per la risoluzione di un limite sinceramente..
Beh, perciò i limiti in due variabili si studiano in Analisi II.
Sei sempre in tempo per recuperare.
"wackos":
ho però appena scoperto che se f è $ C^1 $ in un punto e se è continua in quel punto [...]
Non serve aggiungere "e se è continua in quel punto": infatti, dire che una funzione è \(C^1\) intorno a qualche punto equivale a dire che essa è continua ed ha le derivate parziali prime continue intorno al punto.
"wackos":
[...] allora è differenziabile e non mi serve calcolare il limite con (h,k) che tendono a zero...
Questo è il teorema del differenziale che citavo prima.
"wackos":
[...] quindi posso applicare la formula del gradiente.. è vero?
Certo.
ok perfetto! grazie mille
Un'ultima cosa.. sai dove posso trovare una tabella in cui siano indicate CS e CN di differenziabilità continuità derivabilità..?
(es. f differenziabile --> f continua e derivabile con continuità)...
Un'ultima cosa.. sai dove posso trovare una tabella in cui siano indicate CS e CN di differenziabilità continuità derivabilità..?
(es. f differenziabile --> f continua e derivabile con continuità)...
"wackos":
Un'ultima cosa.. sai dove posso trovare una tabella in cui siano indicate CS e CN di differenziabilità continuità derivabilità..?
Non credo ci siano tabelle del genere... Ad ogni modo, basta farti un riassunto dal libro di teoria.
"wackos":
(es. f differenziabile --> f continua e derivabile con continuità)...
Questa è falsa. Semmai è vera l'implicazione inversa.
l'ho letta in un post di questo forum...
http://matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=111336#p730314
http://matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=111336#p730314
Embé? Perché, su questo forum non sbaglia mai nessuno? 
Che quell'implicazione non possa essere vera lo dovresti sapere già da Analisi I, poiché esistono funzioni che sono differenziabili ma che hanno derivata non continua.
Ad esempio, la funzione:
\[
f(x) := \begin{cases} x^2\ \sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
è derivabile e dunque differenziabile ovunque in \(\mathbb{R}\) (perché, come ben sai, le nozioni di derivabilità e di differenziabilità si equivalgono per funzioni di una variabile), e tuttavia la derivata prima:
\[
f^\prime (x) := \begin{cases} 2x\ \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
non è continua in \(0\).
E, quando una cosa già è falsa per funzioni di una variabile, difficilmente è vera per funzioni di più variabili.
Ribadisco: è vera l'implicazione inversa.
Che quell'implicazione non possa essere vera lo dovresti sapere già da Analisi I, poiché esistono funzioni che sono differenziabili ma che hanno derivata non continua.
Ad esempio, la funzione:
\[
f(x) := \begin{cases} x^2\ \sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
è derivabile e dunque differenziabile ovunque in \(\mathbb{R}\) (perché, come ben sai, le nozioni di derivabilità e di differenziabilità si equivalgono per funzioni di una variabile), e tuttavia la derivata prima:
\[
f^\prime (x) := \begin{cases} 2x\ \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
non è continua in \(0\).
E, quando una cosa già è falsa per funzioni di una variabile, difficilmente è vera per funzioni di più variabili.
Ribadisco: è vera l'implicazione inversa.
ok io credevo fosse giusto perchè nessuno ha commentato.. ho sbagliato lo so... avrei dovuto verificare in prima persona..
Nello svolgimento degli esercizi mi sorgono dei dubbi... Andando per ordine:
1. $ f(x,y) = (xy(x^3-Y^3))/(x^2+Y^2) $ devo verificare se la mia funzione è $ C^1 $ su $ R^2 $
Il mio procedimento è stato questo:
- calcolo le derivare parziali rispetto a x e rispetto a y. Noto che al denominatore ho un $ (x^2+y^2)^2 $ quindi affermo che la funzione è $ C^1 $ su $ R^2 - (0,0) $ perchè in questi punti le derivate non sono definite. Il libro però afferma che ".. in particolare le derivate prime sono continue anche nell'origine" senza spiegare il motivo che io non ho capito.
2.
procedo a risolvere tutto l'esercizio e arrivo al punto d. Applico la formula del gradiente. Per affermare che il gradiente in $ (0,0) $ vale $ 0 $ posso solo calcolarmi la derivata in $ (0,0) $ con la formula del limite?
3. parlando ora dei punti stazionari... quando calcolo il determinante della matrice hessiana e mi risulta il determinante nullo, per capire se sono in presenza di un massimo-minimo o punto di sella, devo procedere con un'ulteriore analisi (secondo i miei appunti) ma non è spiegato cosa c'è da fare in quest'ulteriore analisi... come devo procedere?
grazie mille a tutti in anticipo
io credevo fosse giusto perchè nessuno ha commentato.. ho sbagliato lo so... avrei dovuto verificare in prima persona..Nello svolgimento degli esercizi mi sorgono dei dubbi... Andando per ordine:
1. $ f(x,y) = (xy(x^3-Y^3))/(x^2+Y^2) $ devo verificare se la mia funzione è $ C^1 $ su $ R^2 $
Il mio procedimento è stato questo:
- calcolo le derivare parziali rispetto a x e rispetto a y. Noto che al denominatore ho un $ (x^2+y^2)^2 $ quindi affermo che la funzione è $ C^1 $ su $ R^2 - (0,0) $ perchè in questi punti le derivate non sono definite. Il libro però afferma che ".. in particolare le derivate prime sono continue anche nell'origine" senza spiegare il motivo che io non ho capito.
2.
procedo a risolvere tutto l'esercizio e arrivo al punto d. Applico la formula del gradiente. Per affermare che il gradiente in $ (0,0) $ vale $ 0 $ posso solo calcolarmi la derivata in $ (0,0) $ con la formula del limite?
3. parlando ora dei punti stazionari... quando calcolo il determinante della matrice hessiana e mi risulta il determinante nullo, per capire se sono in presenza di un massimo-minimo o punto di sella, devo procedere con un'ulteriore analisi (secondo i miei appunti) ma non è spiegato cosa c'è da fare in quest'ulteriore analisi... come devo procedere?
grazie mille a tutti in anticipo
Nessuno riesce a darmi una mano?? 
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