Derivate di serie di potenze e MacLaurin
Salve a tutti,
benché abbia chiesto chiarimenti al docente al riguardo, non sono riuscito a comprendere come derivare una serie di potenze e di MacLaurin (in Analisi II) in alcuni casi particolari.
Per indicarvi quali casi particolari intendo, vi mostro direttamente due esempi:
1_
$f(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{3k(k+5)}(x)^(2k+4)$
che diventa
$f(x)=x^4\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{3k(k+5)}(x)^(2k)$
Senza quell'x^4 calcolerei facilmente la derivata decima di f(x) grazie al noto teorema che lega le derivate di f ai coefficienti della serie.
2_
Questa è un po' più complessa ma simile.
$f(x)=3xlog4 + 3x\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k4^k}(x)^(2k)$
Qui ho un 3x davanti ed è sommato 3xlog4.
Come posso procedere? Con una derivata del prodotto di due funzioni? Dovrei calcolare la derivata prima e la derivata decima della funzione nel centro della serie, ovviamente zero.
Vi ringrazio
Buona serata!
benché abbia chiesto chiarimenti al docente al riguardo, non sono riuscito a comprendere come derivare una serie di potenze e di MacLaurin (in Analisi II) in alcuni casi particolari.
Per indicarvi quali casi particolari intendo, vi mostro direttamente due esempi:
1_
$f(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{3k(k+5)}(x)^(2k+4)$
che diventa
$f(x)=x^4\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{3k(k+5)}(x)^(2k)$
Senza quell'x^4 calcolerei facilmente la derivata decima di f(x) grazie al noto teorema che lega le derivate di f ai coefficienti della serie.
2_
Questa è un po' più complessa ma simile.
$f(x)=3xlog4 + 3x\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k4^k}(x)^(2k)$
Qui ho un 3x davanti ed è sommato 3xlog4.
Come posso procedere? Con una derivata del prodotto di due funzioni? Dovrei calcolare la derivata prima e la derivata decima della funzione nel centro della serie, ovviamente zero.
Vi ringrazio
Buona serata!
Risposte
Non crea nessun problema quel $ x^4 $ pensa a $ sinx=sum(-1)^nx^(2n+1)/((2n+1)!) $ e derivi termine a termine (se hai convergenza uniforme, come in questo caso e in tutte le serie di potenze, all'interno del cerchio di convergenza).
$ d/(dx)sinx=cosx=sum (-1)^n(2n+1)x^(2n)/((2n+1)!)=sum (-1)^nx^(2n)/((2n)!) $
Forse non ho inteso, intendi: siccome mancano delle potenze di $ x $ nella serie non puoi usare il teorema? Se ti mancano dei termini allora la derivata corrispondente vale zero, infatti la derivata seconda di $ sinx $ vale zero nell'origine e quel termine ti manca nella serie (analogamente per il termine noto o le potenze pari, le derivate pari di $ sinx $ sono nulle nell'origine). Almeno credo che sia vero, devo verificare.
$ d/(dx)sinx=cosx=sum (-1)^n(2n+1)x^(2n)/((2n+1)!)=sum (-1)^nx^(2n)/((2n)!) $
Forse non ho inteso, intendi: siccome mancano delle potenze di $ x $ nella serie non puoi usare il teorema? Se ti mancano dei termini allora la derivata corrispondente vale zero, infatti la derivata seconda di $ sinx $ vale zero nell'origine e quel termine ti manca nella serie (analogamente per il termine noto o le potenze pari, le derivate pari di $ sinx $ sono nulle nell'origine). Almeno credo che sia vero, devo verificare.
Quindi per l'esercizio 1 devo porre k=3?
Per il secondo invece ho un 3xlog4 che dubito io possa trascurare.
Per il secondo invece ho un 3xlog4 che dubito io possa trascurare.
Tipo pensa a $ f(x)=1+2x^2+1/2x^4 $ che coincide con il suo sviluppo di Taylor, ora la derivata quarta è $ 12 $ ovunque quindi anche nell'origine. Tu avresti dunque $ a_o=1, a_1=0, a_2=2, a_3=0, a_4=1/2 $ e usando il teorema avresti:
$ f^(iv)(0)=4!1/2=12 $ mentre per la derivata terza in zero è giustamente nulla come il termine della tua successione associato al coefficiente di grado tre.
Seguendo la stessa logica nell prima funzione hai $ x^(2k+4) $ che corrisponde a termini di grado $ 6, 8, 10, 12, ... $ quindi si $ k=3 $ ti da la derivata decima nell'origine.
Nella seconda la derivata è lineare e fai la somma delle derivate: quindi $ f^{\prime}(0)=3log4 $ perchè nella serie non hai il termine di grado uno. La derivata decima invece di $ 3xlog4 $ è nulla ovviamente, e della serie pure perchè non hai il termine di grado dieci, ma solo $ 2k+1 $ cioè $ 3, 5, 7, 9, 11, ... $
Poi ricorda che se hai un termine noto nella serie e fai la derivata, quel termine sparisce ovviamente, e devi aggiornare gli indici:
$ d/(dt)sum_(n=0)^(+infty) t^n=sum_(n=1)^(+infty)(n-1)t^(n-1)=sum_(n=0)^(+infty)nt^(n)=sum_(n=1)^(+infty)nt^(n) $
$ f^(iv)(0)=4!1/2=12 $ mentre per la derivata terza in zero è giustamente nulla come il termine della tua successione associato al coefficiente di grado tre.
Seguendo la stessa logica nell prima funzione hai $ x^(2k+4) $ che corrisponde a termini di grado $ 6, 8, 10, 12, ... $ quindi si $ k=3 $ ti da la derivata decima nell'origine.
Nella seconda la derivata è lineare e fai la somma delle derivate: quindi $ f^{\prime}(0)=3log4 $ perchè nella serie non hai il termine di grado uno. La derivata decima invece di $ 3xlog4 $ è nulla ovviamente, e della serie pure perchè non hai il termine di grado dieci, ma solo $ 2k+1 $ cioè $ 3, 5, 7, 9, 11, ... $
Poi ricorda che se hai un termine noto nella serie e fai la derivata, quel termine sparisce ovviamente, e devi aggiornare gli indici:
$ d/(dt)sum_(n=0)^(+infty) t^n=sum_(n=1)^(+infty)(n-1)t^(n-1)=sum_(n=0)^(+infty)nt^(n)=sum_(n=1)^(+infty)nt^(n) $
Ah perfetto, ho capito questi due passaggi!
Se invece dovessi calcolare la derivata di ordine 11 di questa funzione, dovrei porre k=5, esatto?
Se invece dovessi calcolare la derivata di ordine 11 di questa funzione, dovrei porre k=5, esatto?
Si si esatto.
Chiaro, mi hai risolto un dubbio stupidissimo, ti ringrazio, così domani posso passare al ripasso delle serie di Fourier dopo essermi tolto questo dubbio assillante che immaginavo fosse banale.. L'esercitatore di aveva solo fatto esempi con x^2k e mai con x^2k+1 e quindi quando spuntava quella x fuori mi lasciava un attimo interdetto, mentre alla fine conveniva che non portassi fuori la x.
Un ultimo dubbio, ancor più stupido: l'intervallo di convergenza può essere valutato trascurando il 3xlog4, vero, E utilizzando il criterio del rapporto o meglio ancora della radice?
Un ultimo dubbio, ancor più stupido: l'intervallo di convergenza può essere valutato trascurando il 3xlog4, vero, E utilizzando il criterio del rapporto o meglio ancora della radice?
Ottimo, guarda in realtà nessun dubbio è stupido, ci sono cose che a volte si vedono e sembrano ovvie a volte invece se non vengono specificate non hai mai idea, una cosa che faccio è sempre tornare alla definizione e applicarla alla lettera e vedere se ottengo coerenza, il problema di questo approccio è che spesso si impiega tanto tempo a convincersi andando proprio a scavare nelle dimostrazioni.
Modifica: credo che tu possa applicare tranquillamente il criterio del rapporto, perchè in sostanza è come se tu fissassi un valore di $ x $ e andassi a studiare la serie dei moduli, (perchè sai che hai convergenza assoluta nell'insieme di convergenza), per cui che ti manchino delle potenze di $ x $ è irrilevante a questo scopo.
Si, l'intervallo di convergenza è della serie, dove questa converge viene definita in questo modo una funzione $ g(x)=sum a_nx^n $ che va trattata proprio come tale, la serie infatti non è $ f(x) $ tu hai semplicemente definito $ f $ come la somma di due funzioni, di cui una sviluppata in serie.
Modifica: credo che tu possa applicare tranquillamente il criterio del rapporto, perchè in sostanza è come se tu fissassi un valore di $ x $ e andassi a studiare la serie dei moduli, (perchè sai che hai convergenza assoluta nell'insieme di convergenza), per cui che ti manchino delle potenze di $ x $ è irrilevante a questo scopo.
"Dany1899":
l'intervallo di convergenza può essere valutato trascurando il 3xlog4
Si, l'intervallo di convergenza è della serie, dove questa converge viene definita in questo modo una funzione $ g(x)=sum a_nx^n $ che va trattata proprio come tale, la serie infatti non è $ f(x) $ tu hai semplicemente definito $ f $ come la somma di due funzioni, di cui una sviluppata in serie.
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