Derivate di funzioni dispari
Buon pomeriggio e buona domenica a tutti! 
Durante lo svolgimento di un esercizio, ho dovuto calcolare la derivata di una funzione pari e di una dispari. Tali funzioni derivate sono risultate, rispettivamente, dispari e pari. Mi chiedevo: è tale risultato generalizzabile? Cioè, vale:
Data una funzione pari $f(x)$ derivabile, $f'(x)$ risulta sempre essere una funzione dispari
e
Data una funzione disapri $g(x)$ derivabile, $g'(x)$ risulta sempre essere una funzione pari.
"Ad occhio" direi che la risposta e "sì". Non ho trovato nessun controesempio ma ovviamente ciò poco conta. Come potrei generalizzare?
Durante lo svolgimento di un esercizio, ho dovuto calcolare la derivata di una funzione pari e di una dispari. Tali funzioni derivate sono risultate, rispettivamente, dispari e pari. Mi chiedevo: è tale risultato generalizzabile? Cioè, vale:
Data una funzione pari $f(x)$ derivabile, $f'(x)$ risulta sempre essere una funzione dispari
e
Data una funzione disapri $g(x)$ derivabile, $g'(x)$ risulta sempre essere una funzione pari.
"Ad occhio" direi che la risposta e "sì". Non ho trovato nessun controesempio ma ovviamente ciò poco conta. Come potrei generalizzare?
Risposte
Visto che:
[tex]$f^\prime (-x):=\lim_{h\to 0} \frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}$[/tex]
puoi cercare di applicare la disparità/parità di [tex]$f$[/tex] quando calcoli il limite... Prova un po'.
[tex]$f^\prime (-x):=\lim_{h\to 0} \frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}$[/tex]
puoi cercare di applicare la disparità/parità di [tex]$f$[/tex] quando calcoli il limite... Prova un po'.
Basta scrivere la definizione di derivata.
Supponi $f$ dispari e derivabile in $x_0$. Andiamo a studiare il limite del rapporto incrementale in $-x_0$:
$\lim_{y\to -x_0} \frac{f(y) - f(-x_0)}{y - (-x_0)} = \lim_{x\to x_0} \frac{f(-x) - f(-x_0)}{(-x) - (-x_0)}$,
dove abbiamo usato il cambio di variabile $x = -y$.
A questo punto usi il fatto che $f$ è dispari (se è pari si lavora in maniera analoga) per scrivere l'ultimo limite come
$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)$.
Quindi abbiamo dimostrato che se $f$ è dispari e derivabile in $x_0$, allora è derivabile anche in $-x_0$ e si ha $f'(-x_0) = f'(x_0)$.
Supponi $f$ dispari e derivabile in $x_0$. Andiamo a studiare il limite del rapporto incrementale in $-x_0$:
$\lim_{y\to -x_0} \frac{f(y) - f(-x_0)}{y - (-x_0)} = \lim_{x\to x_0} \frac{f(-x) - f(-x_0)}{(-x) - (-x_0)}$,
dove abbiamo usato il cambio di variabile $x = -y$.
A questo punto usi il fatto che $f$ è dispari (se è pari si lavora in maniera analoga) per scrivere l'ultimo limite come
$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)$.
Quindi abbiamo dimostrato che se $f$ è dispari e derivabile in $x_0$, allora è derivabile anche in $-x_0$ e si ha $f'(-x_0) = f'(x_0)$.
Grazie molte ad entrambi 
@gugo: stavo provando a svolgere quel limite come da te indicato:
$ lim_(h -> 0) (f(-x+h)-f(-x))/h $ . Prendiamo per ipotesi che $f(x)$ sia pari. Dunque $f(-x)=f(x)$. Sostituendo ottengo: $ f'(-x)= lim_(h -> 0) (f(-x+h)-f(-x))/h = lim_(h -> 0) (f(-x+h)-f(x))/h $. Non so ora come trattare quel $f(-x+h)$. Un suggerimento?
PS. E' molto probabile che mi stia perdendo in un bicchier d'acque ma oggi non è proprio giornata
$ lim_(h -> 0) (f(-x+h)-f(-x))/h $ . Prendiamo per ipotesi che $f(x)$ sia pari. Dunque $f(-x)=f(x)$. Sostituendo ottengo: $ f'(-x)= lim_(h -> 0) (f(-x+h)-f(-x))/h = lim_(h -> 0) (f(-x+h)-f(x))/h $. Non so ora come trattare quel $f(-x+h)$. Un suggerimento?
PS. E' molto probabile che mi stia perdendo in un bicchier d'acque ma oggi non è proprio giornata
Rispondo io che ho provato a farlo per curiosità come esercizio, sperando che gugo non si offenda 
:
$(f(-x+h)-f(-x))/h=-(f(x-h)-f(x))/(-h)$ e poi anche qui fai il cambio di di variabile!
:$(f(-x+h)-f(-x))/h=-(f(x-h)-f(x))/(-h)$ e poi anche qui fai il cambio di di variabile!
Mi giustifichi quel passaggio? Perchè se $(f(-x+h)-f(-x))/h=-(f(x-h)-f(x))/(-h)$, raccogliendo un meno, ottengo $(f(-x+h)-f(-x))/h=-(f(x-h)-f(x))/(-h)=(f(x-h)-f(x))/h=f'(x)$ e quindi risulterebbe che $f'(-x)=f'(x)$ e ciò è sbagliato.
Il limite (che hai dimenticato di indicare) che ti porta alla derivata è sbagliato, non è un rapporto incrementale quello, ma un rapporto incrementale cambiato di segno (sopra hai $-h$, sotto hai $+h$)!
Io avevo esplicitato il meno proprio per avere sia sopra sotto $-h$, che puoi tranquillamente rendere $+k$ con un cambio di variabile.
Ho fatto 2 passaggi insieme in effetti: ho esplicitato il meno (togliendolo al denominatore) e ho cambiato di segno gli argomenti della funzione, che è pari. Pensavo che capissi perché questo secondo passaggio lo avevi fatto anche tu, almeno parzialmente.
Io avevo esplicitato il meno proprio per avere sia sopra sotto $-h$, che puoi tranquillamente rendere $+k$ con un cambio di variabile.
Ho fatto 2 passaggi insieme in effetti: ho esplicitato il meno (togliendolo al denominatore) e ho cambiato di segno gli argomenti della funzione, che è pari. Pensavo che capissi perché questo secondo passaggio lo avevi fatto anche tu, almeno parzialmente.
Lo avevo detto che oggi proprio non ci sono
Ricapitolando:
$ f'(-x)= lim_(h -> 0) (f(-x+h)-f(-x))/h = lim_(h -> 0) (f(-x+h)-f(x))/h= lim_(h -> 0) (f(x-h)-f(x))/h$ (qui uso di nuovo il fatto che $f(x)$ sia pari). A questo punto, ponendo $k=-h$, ottengo $f'(x)=lim_(h -> 0) (f(x-h)-f(x))/h=lim_(k -> 0) (f(x+k)-f(x))/-k$. Non sono convinto però di questo cambio di variabile... Perchè adesso la dimostrazione sarebbe finita? Grazie in anticipo per la pazienza
Ricapitolando:
$ f'(-x)= lim_(h -> 0) (f(-x+h)-f(-x))/h = lim_(h -> 0) (f(-x+h)-f(x))/h= lim_(h -> 0) (f(x-h)-f(x))/h$ (qui uso di nuovo il fatto che $f(x)$ sia pari). A questo punto, ponendo $k=-h$, ottengo $f'(x)=lim_(h -> 0) (f(x-h)-f(x))/h=lim_(k -> 0) (f(x+k)-f(x))/-k$. Non sono convinto però di questo cambio di variabile... Perchè adesso la dimostrazione sarebbe finita? Grazie in anticipo per la pazienza
"Albert Wesker 27":
Ricapitolando:
$ f'(-x)= lim_(h -> 0) (f(-x+h)-f(-x))/h = lim_(h -> 0) (f(-x+h)-f(x))/h= lim_(h -> 0) (f(x-h)-f(x))/h$ (qui uso di nuovo il fatto che $f(x)$ sia pari). A questo punto, ponendo $k=-h$, ottengo
[ho cancellato una parte che non c'entrava niente, e diceva cose false e tendenziose
$lim_(k -> 0) (f(x+k)-f(x))/-k$
[ossia:]
$lim_(k -> 0) -(f(x+k)-f(x))/k=-lim_(k -> 0) (f(x+k)-f(x))/k=-f'(x)$
Ci siamo adesso? L'obiettivo era ottenere il limite del rapporto incrementale in $x$ chiaro e tondo, per poterlo trasformare in $f'(x)$.
Perfetto.
Nel caso in cui $f(x)$ sia dispari invece:
$ f'(-x)= lim_(h -> 0) (f(-x+h)-f(-x))/h = lim_(h -> 0) (-f(x-h)+f(x))/h$ Ponendo $k=-h$, ottengo $ f'(-x)= lim_(k -> 0) -(f(x+k)-f(x))/-k = lim_(k -> 0) (f(x+k)-f(x))/k= f'(x)$.
Grazie ancora
Nel caso in cui $f(x)$ sia dispari invece:
$ f'(-x)= lim_(h -> 0) (f(-x+h)-f(-x))/h = lim_(h -> 0) (-f(x-h)+f(x))/h$ Ponendo $k=-h$, ottengo $ f'(-x)= lim_(k -> 0) -(f(x+k)-f(x))/-k = lim_(k -> 0) (f(x+k)-f(x))/k= f'(x)$.
Grazie ancora
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