Derivate di funzioni con valori assoluti
sto studiando la funzione:
\(\displaystyle y = sqrt{|x|} - \arcsin(\frac{x-1}{|x|+1} )\)
il problema inizia con la derivata prima:
come devo comportarmi coi valori assoluti??
io ho fatto
1/2rad(x) senza fare i due casi perchè la x deve essere positiva.
per il secondo pezzo:
1/(rad(1- ((x-1)/(|x|+1))^2) * ((1*(|x|+1) - d(|x|+1)(x-1))/(|x|+1)^2)
come devo comportarmi coi moduli?
io pensavo quelli al denominatore li prendo entrambi positivi visto che "una parte" è sotto radice e l'argomento deve essere sempre positivo e l'altro è l'argomento di un quadrato quindi anch'esso sempre positivo. ma al numeratore? devo fare i vari casi <0 e >0 ??
\(\displaystyle y = sqrt{|x|} - \arcsin(\frac{x-1}{|x|+1} )\)
il problema inizia con la derivata prima:
come devo comportarmi coi valori assoluti??
io ho fatto
1/2rad(x) senza fare i due casi perchè la x deve essere positiva.
per il secondo pezzo:
1/(rad(1- ((x-1)/(|x|+1))^2) * ((1*(|x|+1) - d(|x|+1)(x-1))/(|x|+1)^2)
come devo comportarmi coi moduli?
io pensavo quelli al denominatore li prendo entrambi positivi visto che "una parte" è sotto radice e l'argomento deve essere sempre positivo e l'altro è l'argomento di un quadrato quindi anch'esso sempre positivo. ma al numeratore? devo fare i vari casi <0 e >0 ??
Risposte
"amse":
sto studiando la funzione:
\(\displaystyle y = sqrt{|x|} - \arcsin(\frac{x-1}{|x|+1} )\)
il problema inizia con la derivata prima:
come devo comportarmi coi valori assoluti??
io ho fatto
1/2rad(x) senza fare i due casi perchè la x deve essere positiva.
per il secondo pezzo:
1/(rad(1- ((x-1)/(|x|+1))^2) * ((1*(|x|+1) - d(|x|+1)(x-1))/(|x|+1)^2)
come devo comportarmi coi moduli?
io pensavo quelli al denominatore li prendo entrambi positivi visto che "una parte" è sotto radice e l'argomento deve essere sempre positivo e l'altro è l'argomento di un quadrato quindi anch'esso sempre positivo. ma al numeratore? devo fare i vari casi <0 e >0 ??
Essendo in valore assoluto, l'argomento della radice risulta sempre non negativo, per cui vanno fatti tutti e due i casi. Inoltre ti faccio presente che
$D(|x|)=\frac{x}{|x|}$
$f(x)=g(x)-h(x)=sqrt(|x|)-arcsin((x-1)/(|x|+1))$
Sapendo che $d/(dx)|x|=|x|/x=x/|x|$,
e ricordando che
$D[sqrt(u(x))]=1/2(u'(x))/(sqrt(u(x)))$
hai che
$g'(x)=D[sqrt(|x|)]=1/2(|x|/x)/(sqrt(|x|))=1/(2x)(|x|)/(sqrt(|x|))=sqrt(|x|)/(2x)$
Per $D[h(x)]$ il ragionamento è analogo
Sapendo che $d/(dx)|x|=|x|/x=x/|x|$,
e ricordando che
$D[sqrt(u(x))]=1/2(u'(x))/(sqrt(u(x)))$
hai che
$g'(x)=D[sqrt(|x|)]=1/2(|x|/x)/(sqrt(|x|))=1/(2x)(|x|)/(sqrt(|x|))=sqrt(|x|)/(2x)$
Per $D[h(x)]$ il ragionamento è analogo
quindi non posso semplificare rad(|x|)/2x in 1/2rad(x)???
"amse":
quindi non posso semplificare rad(|x|)/2x in 1/2rad(x)???
NO! Dal momento che $|x|=x$ se $x\ge 0$ e $|x|=-x$ se $x<0$ si avrebbe
per $x\ge 0$, ${\sqrt{|x|}}/{2x}=\sqrt{x}/{2x}=1/{2\sqrt{x}}$
per $x<0$, ${\sqrt{|x|}}/{2x}={\sqrt{-x}}/{2x}=1/{2\sqrt{-x}}$
e pertanto ${\sqrt{|x|}}/{2x}=1/{2\sqrt{|x|}}$.
P.S.: sei pregato di usare i comandi per scrivere le formule.
"ciampax":
[quote="amse"]quindi non posso semplificare rad(|x|)/2x in 1/2rad(x)???
NO! Dal momento che $|x|=x$ se $x\ge 0$ e $|x|=-x$ se $x<0$ si avrebbe
per $x\ge 0$, ${\sqrt{|x|}}/{2x}=\sqrt{x}/{2x}=1/{2\sqrt{x}}$
per $x<0$, ${\sqrt{|x|}}/{2x}={\sqrt{-x}}/{2x}=1/{2\sqrt{-x}}$
e pertanto ${\sqrt{|x|}}/{2x}=1/{2\sqrt{|x|}}$.
P.S.: sei pregato di usare i comandi per scrivere le formule.[/quote]
ok ma visto che sono nel reale non posso dire $\1/{2\sqrt{-x}}$ non esiste perchè non posso fare la radice di un numero negativo?
Se $x<0$, allora $-x>0$ e quindi esiste $\sqrt{-x}$! Mi sa che devi riguardati un po' cosa è il valore assoluto. Una curiosità a tale proposito: quale è il dominio della funzione?
"ciampax":
Se $x<0$, allora $-x>0$ e quindi esiste $\sqrt{-x}$! Mi sa che devi riguardati un po' cosa è il valore assoluto. Una curiosità a tale proposito: quale è il dominio della funzione?
di quella completa R, di $\sqrt{-x}$ x
si il valore assoluto mi manda in crisi, mi incasina troppo.
Il dominio della funzione di partenza, che è
$D=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$
Eh sì, il valore assoluto ti manda proprio in crisi.
$D=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$
Eh sì, il valore assoluto ti manda proprio in crisi.
"ciampax":
Il dominio della funzione di partenza, che è
$D=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$
Eh sì, il valore assoluto ti manda proprio in crisi.
scusa perchè -1 e 1 non fan parte del dominio?
Ah no, scusa, ho letto il numeratore per il denominatore e viceversa (devo cambiare sti cavolo di occhiali, ormai non vedo più una mazza!).
Ok,il dominio è $RR$.
Ok,il dominio è $RR$.
ma in generale se ho una funzione y= f(x) + g(x)
se il dominio di f(x) è R posso dire che anche quello di y è R senza considerare g(x)?
se il dominio di f(x) è R posso dire che anche quello di y è R senza considerare g(x)?
No: Pensa a questa funzione:
$f(x)=x+1/{x+1}$
$f(x)=x+1/{x+1}$
ok grazie mille
"Brancaleone":
$f(x)=g(x)-h(x)=sqrt(|x|)-arcsin((x-1)/(|x|+1))$
Sapendo che $d/(dx)|x|=|x|/x=x/|x|$,
e ricordando che
$D[sqrt(u(x))]=1/2(u'(x))/(sqrt(u(x)))$
hai che
$g'(x)=D[sqrt(|x|)]=1/2(|x|/x)/(sqrt(|x|))=1/(2x)(|x|)/(sqrt(|x|))=sqrt(|x|)/(2x)$
Per $D[h(x)]$ il ragionamento è analogo
sarebbe la derivata di funzione di funzione , derivi prima la radice che è la f(x) piu esterna e poi il valore assoluto .. (?)
"luigi.maddaluno":
sarebbe la derivata di funzione di funzione , derivi prima la radice che è la f(x) piu esterna e poi il valore assoluto .. (?)
...sì, o dicendo meglio è l'applicazione del teorema di derivazione della funzione composta, che afferma:
Data una funzione $f(g(x))$, la derivata di tale funzione è
$D[f(g(x))]=f'(g(x)) cdot g'(x)$
Il "trucco" è capire quali sono le singole funzioni: in questo caso è facile
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