Derivate di funzioni composte che "non tornano"
Diciamo che ho
$x^2y''-2y=0$
In questo momento non mi interessa come si risolve, so che una soluzione è $y=x^2$
Faccia le derivate:
$y=x^2$
$y'=2x$
$y''=2$
Sostituisco nell'eq. differenziale, e verifico che è soluzione: $2x^2-2x^2=0$
Niente di nuovo o di strano.
A questo punto lasciatemi fare una sostituzione: $x= e^t$
quindi:
$y=x^2=e^{2t}$
$y'=2x=2e^{2t}$
$y''=2=4e^{2t}$
e già a questo punto non torna più nulla perchè se vado a verificare:
$x^2y''-2y=0$
$e^{2t}4e^{2t}-2e^{2t}=4e^{4t}-2e^{2t}=0$ ???
Non capisco perchè !
A questo punto penso che $y$ vada trattata come funzione composta e concepisco questi passaggi qua, tenendo conto che ho y(x(t)):
$y$
derivo e ottengo
$y'x'$
derivo e ottengo
$y''(x')^2+y'x''$
e sostituisco l'ultima espressione dove nell'eq. differenziale c'è $y''$
ovviamente viene fuori una cosa ancora più strana.
Ma cos'è che non va in tutto ciò ???
$$
Penso che un possibile problema sia che $x(t)=e^t f:R->R$ non è suriettiva, ma perchè ?
$x^2y''-2y=0$
In questo momento non mi interessa come si risolve, so che una soluzione è $y=x^2$
Faccia le derivate:
$y=x^2$
$y'=2x$
$y''=2$
Sostituisco nell'eq. differenziale, e verifico che è soluzione: $2x^2-2x^2=0$
Niente di nuovo o di strano.
A questo punto lasciatemi fare una sostituzione: $x= e^t$
quindi:
$y=x^2=e^{2t}$
$y'=2x=2e^{2t}$
$y''=2=4e^{2t}$
e già a questo punto non torna più nulla perchè se vado a verificare:
$x^2y''-2y=0$
$e^{2t}4e^{2t}-2e^{2t}=4e^{4t}-2e^{2t}=0$ ???
Non capisco perchè !
A questo punto penso che $y$ vada trattata come funzione composta e concepisco questi passaggi qua, tenendo conto che ho y(x(t)):
$y$
derivo e ottengo
$y'x'$
derivo e ottengo
$y''(x')^2+y'x''$
e sostituisco l'ultima espressione dove nell'eq. differenziale c'è $y''$
ovviamente viene fuori una cosa ancora più strana.
Ma cos'è che non va in tutto ciò ???
$$
Penso che un possibile problema sia che $x(t)=e^t f:R->R$ non è suriettiva, ma perchè ?
Risposte
All'inizio hai proprio toppato, era giusta l'idea che hai avuto alla fine, però devi aver sbagliato qualcosa nei conti.
La sostituzione di variabile indipendente $x=e^t$ comporta che $y(x)=y(e^t)$, da cui $y'_t=d/dt y(e^t)=y'(e^t)e^t$ e $y''_t=d^2/dt^2 y(e^t)=y''(e^t)e^(2t)+y'(e^t)e^t$.
A questo punto ricavi $y'(e^t)=y'_t e^(-t)$ e $y''(e^t)=y''_t e^(-2t)-y'_t e^(-2t)$. Se sostituisci queste derivate nell'equazione di prima ottieni una nuova equazione (dovrebbe essere nel tuo caso $y''_t -y'_t-2y'_t=0$), allora sì che quella che cercavi di verificare essere la soluzione, lo diventa davvero!
La sostituzione di variabile indipendente $x=e^t$ comporta che $y(x)=y(e^t)$, da cui $y'_t=d/dt y(e^t)=y'(e^t)e^t$ e $y''_t=d^2/dt^2 y(e^t)=y''(e^t)e^(2t)+y'(e^t)e^t$.
A questo punto ricavi $y'(e^t)=y'_t e^(-t)$ e $y''(e^t)=y''_t e^(-2t)-y'_t e^(-2t)$. Se sostituisci queste derivate nell'equazione di prima ottieni una nuova equazione (dovrebbe essere nel tuo caso $y''_t -y'_t-2y'_t=0$), allora sì che quella che cercavi di verificare essere la soluzione, lo diventa davvero!
Ah alla fine ci si arriva perchè ci sono "due tipi di y", c'è quella che dipende da x e quella che dipende da t , ma le loro derivate non sono uguali. Che ci fossero due $y$ era chiaro, nache se poi sono la stessa cosa, però a derivarle vanno tenute distinte...altrimenti sono guai.
Chiamo $\bar y = y(t) $ e $y=y(x(t))$. Anche $x$ si intende come $x(t)$
$\bar y = y$
$\bar y' = y'\ x'$
$\bar y'' = y''\ (x')^2+y'\ x''$
da cui
$y'' = (\bar y'' - y' x'') / (x')^2 $
adesso si che sostituendo $y''$ nell'equazione torna tutto.... cavoli, che casotto !
Chiamo $\bar y = y(t) $ e $y=y(x(t))$. Anche $x$ si intende come $x(t)$
$\bar y = y$
$\bar y' = y'\ x'$
$\bar y'' = y''\ (x')^2+y'\ x''$
da cui
$y'' = (\bar y'' - y' x'') / (x')^2 $
adesso si che sostituendo $y''$ nell'equazione torna tutto.... cavoli, che casotto !
Eh sì, conviene ricordarsi bene i passaggi se non si vuole fare casino ogni volta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo