Derivate del logaritmo

[Akillez]

Ciao ragazzi scusatemi se faccio questa domanda,
ma nei miei appunti ho fatto un pò di confusione e sia sul libro di testo che su internet non ho trovate granchè, mi controllate se sono giuste le derivate del logaritmo?

$Log(g(x))=1/g(x)$

$Log(f(x)/g(x))=$ questa non so a cosa sia uguale


$Log(|g(x)|)=(g'(x))/g(x)$

$Log(|f(x)/g(x)|)=(f'(x))/f(x)-(g'(x))/g(x)$

in particolare se avessi $log((1+x)/(2+x))$ a cosa sarebbe uguale?

[Sk_Anonymous]

$D[log((1+x)/(2+x))]=(2+x)/(1+x)*((2+x)-(1+x))/(2+x)^2

[Akillez]

"micheletv":$D[log((1+x)/(2+x))]=(2+x)/(1+x)*((2+x)-(1+x))/(2+x)^2

da quello che mi fai vedere capisco che:

$Log(f(x)/g(x))= g(x)/f(x) * (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g^2(x))$

o mi sbaglio..

[Sk_Anonymous]

è normale in quanto $D[log(f(x))]=1/(f(x))*f'(x)=(f'(x))/(f(x))$

[Akillez]

"micheletv":è normale in quanto $D[log(f(x))]=1/(f(x))*f'(x)=(f'(x))/(f(x))$

Vabbè ci rifletto un pò su. Grazie mille ,)

Non lo dico con certezza ma da quello che sto vedendo dagli esercizi vengono usati questi 2 sistemi

$Log(|g(x)|)=(g'(x))/g(x)$

$Log(|f(x)/g(x)|)=(f'(x))/f(x)-(g'(x))/g(x)$

[Camillo]

Non devi dedurre dagli esercizi come si calcola la derivata del logaritmo di una funzione, ma dalla teoria ; gli esercizi serviranno a verificare la correttezza di applicazione della teoria.
Comunque la derivata del logaritmo (in base e ) di una funzione f(x) , cioè la derivata di $ log(f(x)) $ è uguale a:
$(f'(x))/f(x)$ .
Infatti la derivata di log x è $ 1/x $ e quindi ricordando le regole di derivazione delle funzioni composte avrai che la derivata di $ log(f(x)) $ è appunto : $ 1/f(x)*f'(x) $.
La derivata di : $log (f(x)/g(x)) $ sarà :

$1/(f(x)/g(x))*D(f(x)/g(x)) $ = $ (g(x)/(f(x) ) *[f'(x)*g(x)-g'(x)*f(x)]/(g(x))^2 )$

[Akillez]

"camillo":Non devi dedurre dagli esercizi come si calcola la derivata del logaritmo di una funzione, ma dalla teoria ; gli esercizi serviranno a verificare la correttezza di applicazione della teoria.
Comunque la derivata del logaritmo (in base e ) di una funzione f(x) , cioè la derivata di $ log(f(x)) $ è uguale a:
$(f'(x))/f(x)$ .
Infatti la derivata di log x è $ 1/x $ e quindi ricordando le regole di derivazione delle funzioni composte avrai che la derivata di $ log(f(x)) $ è appunto : $ 1/f(x)*f'(x) $.
La derivata di : $log (f(x)/g(x)) $ sarà :

$1/(f(x)/g(x))*D(f(x)/g(x)) $ = $ (g(x)/(f(x) ) *[f'(x)*g(x)-g'(x)*f(x)]/(g(x))^2 )$

Hmm... il dubbio nasce perchè $log (f(x)/g(x)) $ è $log (f(x)) - log(g(x))) $ e se $ log(f(x)) $ = $(f'(x))/f(x)$ e $ log(g(x)) $ è $(g'(x))/g(x)$ allora $log (f(x)/g(x)) $ = $(f'(x))/f(x)$ - $(g'(x))/g(x)$ .

Ecco perchè sono un pò confuso, cmq studierà meglio ciao camillo e grazie del consiglio

[Sk_Anonymous]

buona la spiegazione, camillo!

[Sk_Anonymous]

non c'è niente da capire, infatti
$D[ln(f(x)/g(x))=D[lnf(x)-lng(x)]=(f'(x))/f(x)-(g'(x))/g(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(f(x)g(x))=g(x)/f(x)*(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g^2(x))=D[ln(f(x)/g(x))]$

[Akillez]

ma guarda l'avevo davanti agli occhi.

grazie a tutti ragazzi!!

[fireball1]

Se posso darti un consiglio Akillez, non imparare a memoria
TUTTE le regole di derivazione esistenti!
Cerca di ricavartele da solo da quelle "fondamentali".