Derivate deboli-forti

[balestrav]

Salve, vorrei una conferma (o una smentita) di un fatto riguardante le derivate deboli.
Una caratterizzazione equivalente delle derivate deboli è la seguente:
Siano u,v in $L_{"loc"}^1(\Omega)$. Allora v è la j-esima derivata debole di u se e solo se esiste una successione
$u_n$ di funzioni $C^{\infty}(\Omega)$ che tende a u in $L_{"loc"}^1 (\Omega)$ tale che $D_j u_n$ tende a v in $L_{"loc"}^1 (\Omega)$.
(Gilbarg-Trudinger- Elliptic partial differential equations of second order)
la domanda è : si può dire la stessa cosa sostituendo $L_{"loc"}^p$ ad $L_{"loc"}^1$ e mantenendo la richiesta che la successione sia
$C^{\infty}$?
Il dubbio mi è venuto perchè nel Giusti si dà proprio questa caratterizzazione utilizzando gli $L^p$ ma la successione di funzioni non è $C^{\infty}$
ma ha un grado di regolarità pari solo all'ordine della derivata...
grazie

[dissonance]

Sul fatto $C^k - C^infty$ è sempre la stessa cosa, puoi usare lo spazio che vuoi e quindi la scelta più comoda è $C^infty$. Per il resto, sicuramente se $u_n$ tende $L_{"loc"}^p$ ad $u$ e le sue derivate convergono nel senso di $L_{"loc"}^p$ allora esse convergono alle derivate deboli di $u$, questo perché la convergenza $L_{"loc"}^p$ implica la convergenza nel senso distribuzionale. In questo momento però non ti so dire se vale il viceversa. Penso di si, ma non sono sicuro.

[ViciousGoblin]

Confermo quanto dice dissonance. Il viceversa è vero se $\Omega$ è regolare - in effetti quando ho studiato gli spazi di Sobolev
(mi sa circa trent'anni fa...) c'era una distinzione tra gli $H^{k,p}(\Omega)$ e i $W^{k,p}(\Omega)$ (il primo definito usando limiti nella norma $L^p$ di funzioni $C^k(\bar\Omega)$ il secondo usando le derivate deboli). Ricordo che per $k=1$ i due spazi coincidono se $\Omega$ verifica una "proprietà di cono" (per ogni punto di $\partial\Omega$ deve esistere un cono, di apertura fissata, con vertice nel punto e tutto esterno a $\Omega$) . Poi se si considera la condizione nulla al bordo i due spazi coincidono.