Derivate-consigli-trucchi-soluzione immediata ?
Salve a tutti vorrei chiedervi una delucidazione su alcune derivate.
Una parte del mio esame di analisi 1 consiste nello svolgere 10 esercizi in 30 minuti. Molti (se non tutti) gli esercizi sono immediati o comunque presentano una minima parte rivolta al calcolo/sviluppo. Il mio problema sorge solo sul calcolo delle seguenti derivate
calcolare la derivata ennesima (spesso è di 3/4/5 grado) in un punto x0 dato, di:
e^(cos(x))
e^(sen(x))
cos(x^2)
sen(x^2)
mi rendo conto che sono derivate banalissime però piu' si va avanti con il grado piu' lo sviluppo diventa difficile a causa dello stress/ansia e dal non farsi fregare nel riportare i vari segni e calcoli. Qualcuno sa mica se esiste un modo immediato o qualcosa per semplificare i calcoli? Io mi ricordo che il Professore svolgeva queste derivate come se nulla fosse, anche in meno di un minuto (non che mi sembri assurdo visto che abbiamo 3 minuti per esercizio).
La mia unica idea era quella di usare gli sviluppi notevoli di taylor ma non sono sicuro che sia questo il "trucco".
Grazie mille a tutti
Una parte del mio esame di analisi 1 consiste nello svolgere 10 esercizi in 30 minuti. Molti (se non tutti) gli esercizi sono immediati o comunque presentano una minima parte rivolta al calcolo/sviluppo. Il mio problema sorge solo sul calcolo delle seguenti derivate
calcolare la derivata ennesima (spesso è di 3/4/5 grado) in un punto x0 dato, di:
e^(cos(x))
e^(sen(x))
cos(x^2)
sen(x^2)
mi rendo conto che sono derivate banalissime però piu' si va avanti con il grado piu' lo sviluppo diventa difficile a causa dello stress/ansia e dal non farsi fregare nel riportare i vari segni e calcoli. Qualcuno sa mica se esiste un modo immediato o qualcosa per semplificare i calcoli? Io mi ricordo che il Professore svolgeva queste derivate come se nulla fosse, anche in meno di un minuto (non che mi sembri assurdo visto che abbiamo 3 minuti per esercizio).
La mia unica idea era quella di usare gli sviluppi notevoli di taylor ma non sono sicuro che sia questo il "trucco".
Grazie mille a tutti
Risposte
Per le ultime due, lo sviluppo di Taylor aiuta senz'altro.
Per le altre, credo che la via più sicura sia calcolare le derivate "a mano", anche se potresti provare con gli sviluppi di Taylor innestati.
Per le altre, credo che la via più sicura sia calcolare le derivate "a mano", anche se potresti provare con gli sviluppi di Taylor innestati.
ma per lo sviluppo di taylor intendi prendere gli svluppi immediati ed applicarli sulla funzione data? 
Penso che Gugo intendesse questo: ad esempio, essendo
\[e^t=1+t+t^2/2+o(t^2)\qquad \sin t = t+o(t^2)\]
si ha
\[e^{\sin x}=e^{x+o(x^2)}=1+[x+o(x^2)]+[x+o(x^2)]^2/2+o\big((x+o(x))^2\big)= \\ \stackrel{\text{algebretta}}{=}1+x+x^2/2+o(x^2)=:P_2(x)+o(x^2) \]
Il polinomio $P_2(x)$ ottenuto è il polinomio di Taylor (centrato in $x_0=0$) del second'ordine di $f(x):=e^{\sin x}$ (questo per l'unicità del polinomio di Taylor), dunque le sue derivate fino all'ordine $2$ coincidono, nel punto $x_0$ ovviamente, con quelle di $f$. Per esempio,
\[f''(0)=P''_2(0)=1\]
Che bello! Tuttavia mi sembra che questa strategia sia efficace solo quando ci sono di mezzo sviluppi notevoli (la vedo tragica calcolare in questo modo, che ne so, la derivata settima di $e^{\cos x}$ in $x_0=\sqrt{2}$...
).
\[e^t=1+t+t^2/2+o(t^2)\qquad \sin t = t+o(t^2)\]
si ha
\[e^{\sin x}=e^{x+o(x^2)}=1+[x+o(x^2)]+[x+o(x^2)]^2/2+o\big((x+o(x))^2\big)= \\ \stackrel{\text{algebretta}}{=}1+x+x^2/2+o(x^2)=:P_2(x)+o(x^2) \]
Il polinomio $P_2(x)$ ottenuto è il polinomio di Taylor (centrato in $x_0=0$) del second'ordine di $f(x):=e^{\sin x}$ (questo per l'unicità del polinomio di Taylor), dunque le sue derivate fino all'ordine $2$ coincidono, nel punto $x_0$ ovviamente, con quelle di $f$. Per esempio,
\[f''(0)=P''_2(0)=1\]
Che bello! Tuttavia mi sembra che questa strategia sia efficace solo quando ci sono di mezzo sviluppi notevoli (la vedo tragica calcolare in questo modo, che ne so, la derivata settima di $e^{\cos x}$ in $x_0=\sqrt{2}$...
).
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