Derivate con limite del rapporto incrementale

[KatieP]

Ciao ragazzi, ho bisogno di studiare la derivabilità della funzione definita come (e^x -1)/x per x diverso da 0 e come 1 per x= 0. Devo calcolare la derivata in 0 mediante il limite del rapporto incrementale (e non studiando il limite della derivata) ma ottengo al numeratore una forma indeterminata 0/0, perché come secondo termine al numeratore avrei e^0 -1/0 ..qualcuno può aiutarmi a capire come risolvere in questi casi?

[donald_zeka]

Definizione di derivata di $f(x)$ in $x_0$:

$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$

Nel tuo caso hai:

$x_0=0$, $f(x)=(e^x-1)/x$ e $f(0)=1$, pertanto il limite da risolvere è:

$lim_(x->0) ((e^x-1)/x-1)/x$

Cioè

$lim_(x->0)(e^x-1-x)/x^2$

Che si risolve facilmente con Hopital o Taylor.

[KatieP]

Ma il fatto che f(0) = 1 deriva dall'applicazione del limite notevole? Perché andando a sostituire otterrei 0/0. Il mio dubbio era se applicare il limite notevole fosse lecito visto che l'operazione del limite è riferito all'intero rapporto incrementale .

[@melia]

il fatto che $f(0) = 1$ lo dice il testo del problema

la funzione definita come (e^x -1)/x per x diverso da 0 e come 1 per x= 0.

[KatieP]

Giusto..grazie mille