Derivate argomento complesso

[4mrkv]

Considero la funzione argomento \(\theta(x,y)\) da \(\Omega^{*}=\mathbb{R}^{2}\backslash\{(x,0)/x\leq 0\}\) a \(\mathbb{R}\) come definita in link pag. 2. Vale che
\[
\frac{\partial \theta}{\partial x}=
\begin{cases}
\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}
&x\neq 0 \\
0
&x=0
\end{cases}
\]
La prima parte è continua nel dominio naturale \(z\neq 0\) quindi anche in \(\Omega^{*}\). Il problema è verificare la continuità di tutta la funzione. Se prendo ad esempio \((0,1)\in \Omega^{*}\) la prima parte vale \(-1\) mentre la seconda \(0\), così ad occhio non mi sembra ci sia continuità. Ho scritto qualcosa di sbagliato dato che \(\partial _{x}\theta\) dovrebbe essere effettivamente continua, dove?

[4mrkv]

Con \(\partial_{y} \theta\) invece funziona tutto perché la derivata è la stessa per tutti i punti del dominio. \(\theta \in C^{1}\) serve nella costruzione di \(\ln z\) per mostrarne l'olomorfismo.