Derivate

[bad.alex]

sapreste aiutarmi a calcolarmi le derivate prime e seconde delle seguenti due funzioni:

$log(sqrt3(|sinx|-1)+cosx)$
$(x/sqrt|x|)((log^2)|x|+ (1/2)logx^2+2)$ ?
vi ringrazio.

alex

p.s. poichè ritengo che con il calcolo della prima derivata scompaia il valore assoluto, non occorre calcolare la derivata seconda...la riserverò a me medesimo...una volta capito come procedere con questo "maledetto" valore assoluto che mi mette in ginocchio....

[Nikilist]

Per la seconda è come se i valori assoluti non ci fossero, in quanto hai un $log^2(x)$ che richiede $x>0$ a prescindere dal valore assoluto.

La prima invece è periodica di periodo $2pi$ in quanto la x compare solo all'argomento di seno e coseno. Restringendo allora il calcolo della derivata in un detto intervallo (ad esempio $-pi+2kpi<=x<=2kpi$ e $2kpi<=x<=pi+2kpi$) hai che nel primo intervallo $|sinx|=-sinx$ e nel secondo $|sinx|=sinx$. Da qui dovresti riuscire senza problemi

[bad.alex]

"Nikilist":Per la seconda è come se i valori assoluti non ci fossero, in quanto hai un $log^2(x)$ che richiede $x>0$ a prescindere dal valore assoluto.

La prima invece è periodica di periodo $2pi$ in quanto la x compare solo all'argomento di seno e coseno. Restringendo allora il calcolo della derivata in un detto intervallo (ad esempio $-pi+2kpi<=x<=2kpi$ e $2kpi<=x<=pi+2kpi$) hai che nel primo intervallo $|sinx|=-sinx$ e nel secondo $|sinx|=sinx$. Da qui dovresti riuscire senza problemi

ti ringrazio...i valori assoluti nelle funzioni prossime per il calcolo di integrali o di derivate mi sono odiosi.

alex

[Gaal Dornick]

"Nikilist":Per la seconda è come se i valori assoluti non ci fossero, in quanto hai un $log^2(x)$ che richiede $x>0$ a prescindere dal valore assoluto.

Occhio! Nella traccia c'è un $log^2|x|$ che non richiede affatto $x>0$!
Il logaritmo vuole in entrata un valore positivo: nella fattispecie qui dobbiamo richiedere $|x|>0$ ossia $x!=0$

In generale la funzione valore assoluto $| * | : RR to RR_+$
è derivabile ovunque tranne in 0
e la sua derivata è la funzione segno: ossia $sign(x)=-1$ se $x<0$ e $sign(x)=1$ se $x>0$
Un modo più compatto per scrivere la segno è $sign(x)=x/|x|$
Nota bene che la segno non è definita in 0.. (perlomeno in questa definizione: niente ci vieta di definirla 1 o "pizza")

Ad esempio la derivata di $log^2|x|$ è $ 2log|x|*(1/|x|)*(x/|x|)$ in ogni punto del suo dominio.
Poichè $x/|x|=|x|/x$ puoi semplificare e ottenere $2log|x|*(1/x)$

[Nikilist]

Chiedo venia, avevo letto al secondo addendo solo $log^2x$ e non $logx^2$. In effetti devi allora considerare i casi $x<0$ e $x>0$

[bad.alex]

"Nikilist":Chiedo venia, avevo letto al secondo addendo solo $log^2x$ e non $logx^2$. In effetti devi allora considerare i casi $x<0$ e $x>0$

non ho capito molto, mi dispiace
ho provato a svolgere la prima ma la mia difficoltà sta nel considerare le due funzioni dopo aver tenuto in considerazione il valore assoluto.
ad esempio:
come dovrei risolvere: $sqrt(sinx+|cosx|-1)$?
mi servirà poi calcolarne la derivata in quanto è la funzione di cui devo studiarmi il grafico. vi ringrazierei se mi deste una spiegazione, o un'illustrazione dello svolgimento. Sono due ore che eseguo procedimenti senza arrivare ad una soluzione corretta....almeno...lo credo.