Derivate
Ciao a tutti stavo studiando le derivate ..
sul mio libro di matematica ci sono un complesso di lettere che a prima vista a vederle sembra qualcosa di incomprensibile, infatti non ho capito molto...ecco vi riporto la pag del mio libro..
Quello che chiedo è se qualcuno mi aiuta a capire le derivate facendomi degli esempi..ps : mi servono per lo studio di una funzione..
in particolare non ho capito cosa significa Ax
http://i46.tinypic.com/r0cyl2.jpg
sul mio libro di matematica ci sono un complesso di lettere che a prima vista a vederle sembra qualcosa di incomprensibile, infatti non ho capito molto...ecco vi riporto la pag del mio libro..
Quello che chiedo è se qualcuno mi aiuta a capire le derivate facendomi degli esempi..ps : mi servono per lo studio di una funzione..
in particolare non ho capito cosa significa Axhttp://i46.tinypic.com/r0cyl2.jpg
Risposte
"C.studentessa":
in particolare non ho capito cosa significa Ax
Nella pagina che hai riportato c'è la dimostrazione del limite della derivata di funzione composta.
Inoltre non vedo nessun "Ax"...
... se, però, ti riferisci a $\Delta x$, con quella scrittura si intende un "incremento" della "cosa" (variabile o altro) a cui è riferito il $\Delta$ stesso.
Comunque come domanda è un po' ampia, non capisco se vuoi capire "cos'è, in pratica, la derivata" o "come si calcola" o "a cosa serve" o "la definizione in sé" (quella tramite i suddetti limiti)... Mi sembra un po' vaga la tua domanda a meno che non ho frainteso io.
"Zero87":
[quote="C.studentessa"] in particolare non ho capito cosa significa Ax
Nella pagina che hai riportato c'è la dimostrazione del limite della derivata di funzione composta.
Inoltre non vedo nessun "Ax"...
... se, però, ti riferisci a $\Delta x$, con quella scrittura si intende un "incremento" della "cosa" (variabile o altro) a cui è riferito il $\Delta$ stesso.
Comunque come domanda è un po' ampia, non capisco se vuoi capire "cos'è, in pratica, la derivata" o "come si calcola" o "a cosa serve" o "la definizione in sé" (quella tramite i suddetti limiti)... Mi sembra un po' vaga la tua domanda a meno che non ho frainteso io.[/quote]
A cosa serve questa definizione, e se mi potrtresti fare un esempio con i numeri..Inoltre questo incremento come si trova?..non ho capito
grazie mille
Intanto ti posso dire che, quando qui dici di non avere la formula per la regola di derivazione composta, in realtà sei in errore perché quella pagina che hai incollato in questa discussione è la dimostrazione della formula di derivazione composta.
Comunque, vado con ordine. Spiego "alla buona" perché (secondo me) è meglio prima capire, poi, casomai, afferrare anche i formalismi e il rigore matematico.
Innanzitutto l'incremento e il significato di quel $\Delta x$.
Con il termine "incremento" riferito ad una variabile/funzione, si intende un aumento (generalmente piccolo) della stessa. Vedrò di definirtelo meglio facendo un esempio.
Prendiamo una funzione non particolarmente complicata: $f(x)=x^2$.
Questa - se scrivi nella sezione di analisi, suppongo che tu lo sappia ($^1$) - è una parabola con vertice nell'origine.
Per $x=2$, $f(x)=f(2)=2^2=4$,
per $x=3$, $f(x)=f(3)=3^2=9$.
In questo caso, un incremento è la differenza tra i valori assunti dalla funzione per $x=2$ e $x=3$ e lo indichiamo con
$f(3)-f(2)=9-4=5$.
In questo caso tale incremento è positivo, ciò non è sempre vero: puoi fare la prova vedendo quanto vale, ad esempio, $f(-2)-f(-3)$.
Comunque, una scrittura del genere, si può scrivere anche in modo differente:
$f(3)-f(2)=f(2+1)-f(2)=5$.
Può sembrare strano, ma questo è il modo universalmente accettato: una scrittura del genere, infatti, mostra come "aumenta" la funzione (l'incremento) all'aumento del valore della variabile. In pratica ti dice che "se la $x$ aumenta di $1$, la funzione aumenta di $5$". In termini decisamente più matematici "l'incremento di $f$ è $5$ se quello della $x$ è $1$".
Ovviamente, come punto base abbiamo scelto $x=2$.
Puoi vedere (anche servendoti di quella funzione), infatti che l'incremento della funzione:
- varia a seconda del punto che si sceglie (invece di $x=2$ se scegli $x=3$ ecc...).
- varia a seconda dell'incremento della variabile (invece di passare da $x=2$ a $x=3$, guarda cosa succede da $x=2$ a $x=2+1/2$, cioè con un incremento di $1/2$ della variabile).
Riprendiamo, dunque, questa scrittura
$f(2+1)-f(2)$
e vediamo di generalizzarla.
$f(2+1/2)-f(2)=f(5/2)-f(2)=25/4-4=9/4$ che è minore di $5$ (=$f(2+1)-f(2)$).
$f(2+0,1)-f(2)=f(2,1)-f(2)=4,41-4=0,41$ che è minore di $5$ ma anche del precedente.
$f(2+0,01)-f(2)=f(2,01)-f(2)=4,0401-4=0,0401$ che è minore del precedente e di quelli prima.
Se l'incremento della $x$ decresce, decresce anche quello di $f(x)$, ma questo vale solo perché $f$ è continua: ci torniamo tra poco poco, prima un appunto.
Vediamo ora una scrittura più generale
$f(2+h)-f(2)$.
Si intende proprio quanto detto sopra, solo che l'incremento della $x$ dipende da un parametro (reale) $h$: l'incremento della $x$ è $2+h-2=h$ mentre quello della $f(x)$ è $(2+h)^2 - 2^2$ ($^2$).
Si usa, dunque, definire l'incremento della $x$ con il simbolo $\Delta$. Nel nostro caso
$\Delta x=2+h-2=h$.
Nel caso precedente $\Delta x=3-2=1$, ad esempio.
Generalizziamo ancora di più.
Fissiamo $x_0$ un punto arbitrario e un incremento per tale $x_0$ che indichiamo con $\Delta x =x_0 + h - x_0 =h$. Per l'incremento della $f$ abbiamo - indicandolo sempre con il $\Delta$
$\Delta f(x) = f(x_0 + h)-f(x_0)$ che non è($^3$) $h$!
Ora, scelto un punto $x_0$ per una funzione, c'è una definizione nel tuo libro di analisi che dice che "una funzione $f$ è continua in un punto $x_0$ se $f(x+h)-f(x)->0$ per $h->0$ o, analogamente, se $f(x+h)->f(x)$ per $h->0$. Preciso
$f(x+h)->f(x)$ per $h->0$
sottintende la scrittura
$lim_(h->0) f(x+h)=f(x)$.
Se, dunque, sono stato in grado di spiegare decentemente, potresti capire una (probabile) scrittura nel tuo libro
$lim_(h->0) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = lim_(h->0) \frac{\Delta f}{\Delta x} $,
nel quale si intende che si calcola il limite - per l'incremento della variabile che tende a zero - tra il rapporto dell'incremento della funzione e quello della variabile stessa: tale rapporto - per questo motivo - si chiama "rapporto incrementale".
Ho spiegato molti concetti alla buona, servendomi di esempi. Ovviamente sono una persona, quindi sono fallibile: se qualcuno trova errori di sorta, lo dica pure (anzi, deve farlo!).
Un ultimo appunto sulla notazione.
- Scegliendo $x$ un punto e $h$ un valore reale (positivo), si indica $\Delta x =x+h-x=h$.
- Scegliendo due punti $x_0$ e $x_1$ (supponendo $x_1 >x_0$), si ha $\Delta x = x_1 - x_0$.
Tali scritture hanno, come conseguenze:
$\Delta f = f(x+h) - f(x)$ nel primo caso (dato, poi, che $\Delta x =h$, si può scrivere - come fa il tuo libro - anche $f(x+\Delta x) - f(x)$),
$\Delta f = f(x_1) - f(x_0)$ nel secondo caso.
_____
($^1$) Se non sai cose come il fatto che $f(x)=x^2$ è una parabola, ti consiglio - oltre a un gran ripasso - di postare nella secondaria di secondo grado per domande sulle derivate perché troverai risposte più "basilari". Nella sezione di analisi si suppongono "assodate" certe conoscenze. (NB. Non è affatto un rimprovero il mio!).
($^2$) Puoi calcolarlo come esercizio quanto vale. E' importante sottolineare in genere che $\Delta f=f(x+h)-f(x)$ non si può calcolare in modo esplicito ma si lascia in quella forma "teorica".
($^3$) In genere, infatti, non vale $f(x+h)-f(x)=h$ vale solo per qualche tipo di retta (quindi quasi mai!).
Comunque, vado con ordine. Spiego "alla buona" perché (secondo me) è meglio prima capire, poi, casomai, afferrare anche i formalismi e il rigore matematico.
Innanzitutto l'incremento e il significato di quel $\Delta x$.
Con il termine "incremento" riferito ad una variabile/funzione, si intende un aumento (generalmente piccolo) della stessa. Vedrò di definirtelo meglio facendo un esempio.
Prendiamo una funzione non particolarmente complicata: $f(x)=x^2$.
Questa - se scrivi nella sezione di analisi, suppongo che tu lo sappia ($^1$) - è una parabola con vertice nell'origine.
Per $x=2$, $f(x)=f(2)=2^2=4$,
per $x=3$, $f(x)=f(3)=3^2=9$.
In questo caso, un incremento è la differenza tra i valori assunti dalla funzione per $x=2$ e $x=3$ e lo indichiamo con
$f(3)-f(2)=9-4=5$.
In questo caso tale incremento è positivo, ciò non è sempre vero: puoi fare la prova vedendo quanto vale, ad esempio, $f(-2)-f(-3)$.
Comunque, una scrittura del genere, si può scrivere anche in modo differente:
$f(3)-f(2)=f(2+1)-f(2)=5$.
Può sembrare strano, ma questo è il modo universalmente accettato: una scrittura del genere, infatti, mostra come "aumenta" la funzione (l'incremento) all'aumento del valore della variabile. In pratica ti dice che "se la $x$ aumenta di $1$, la funzione aumenta di $5$". In termini decisamente più matematici "l'incremento di $f$ è $5$ se quello della $x$ è $1$".
Ovviamente, come punto base abbiamo scelto $x=2$.
Puoi vedere (anche servendoti di quella funzione), infatti che l'incremento della funzione:
- varia a seconda del punto che si sceglie (invece di $x=2$ se scegli $x=3$ ecc...).
- varia a seconda dell'incremento della variabile (invece di passare da $x=2$ a $x=3$, guarda cosa succede da $x=2$ a $x=2+1/2$, cioè con un incremento di $1/2$ della variabile).
Riprendiamo, dunque, questa scrittura
$f(2+1)-f(2)$
e vediamo di generalizzarla.
$f(2+1/2)-f(2)=f(5/2)-f(2)=25/4-4=9/4$ che è minore di $5$ (=$f(2+1)-f(2)$).
$f(2+0,1)-f(2)=f(2,1)-f(2)=4,41-4=0,41$ che è minore di $5$ ma anche del precedente.
$f(2+0,01)-f(2)=f(2,01)-f(2)=4,0401-4=0,0401$ che è minore del precedente e di quelli prima.
Se l'incremento della $x$ decresce, decresce anche quello di $f(x)$, ma questo vale solo perché $f$ è continua: ci torniamo tra poco poco, prima un appunto.
Vediamo ora una scrittura più generale
$f(2+h)-f(2)$.
Si intende proprio quanto detto sopra, solo che l'incremento della $x$ dipende da un parametro (reale) $h$: l'incremento della $x$ è $2+h-2=h$ mentre quello della $f(x)$ è $(2+h)^2 - 2^2$ ($^2$).
Si usa, dunque, definire l'incremento della $x$ con il simbolo $\Delta$. Nel nostro caso
$\Delta x=2+h-2=h$.
Nel caso precedente $\Delta x=3-2=1$, ad esempio.
Generalizziamo ancora di più.
Fissiamo $x_0$ un punto arbitrario e un incremento per tale $x_0$ che indichiamo con $\Delta x =x_0 + h - x_0 =h$. Per l'incremento della $f$ abbiamo - indicandolo sempre con il $\Delta$
$\Delta f(x) = f(x_0 + h)-f(x_0)$ che non è($^3$) $h$!
Ora, scelto un punto $x_0$ per una funzione, c'è una definizione nel tuo libro di analisi che dice che "una funzione $f$ è continua in un punto $x_0$ se $f(x+h)-f(x)->0$ per $h->0$ o, analogamente, se $f(x+h)->f(x)$ per $h->0$. Preciso
$f(x+h)->f(x)$ per $h->0$
sottintende la scrittura
$lim_(h->0) f(x+h)=f(x)$.
Se, dunque, sono stato in grado di spiegare decentemente, potresti capire una (probabile) scrittura nel tuo libro
$lim_(h->0) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = lim_(h->0) \frac{\Delta f}{\Delta x} $,
nel quale si intende che si calcola il limite - per l'incremento della variabile che tende a zero - tra il rapporto dell'incremento della funzione e quello della variabile stessa: tale rapporto - per questo motivo - si chiama "rapporto incrementale".
Ho spiegato molti concetti alla buona, servendomi di esempi. Ovviamente sono una persona, quindi sono fallibile: se qualcuno trova errori di sorta, lo dica pure (anzi, deve farlo!).
Un ultimo appunto sulla notazione.
- Scegliendo $x$ un punto e $h$ un valore reale (positivo), si indica $\Delta x =x+h-x=h$.
- Scegliendo due punti $x_0$ e $x_1$ (supponendo $x_1 >x_0$), si ha $\Delta x = x_1 - x_0$.
Tali scritture hanno, come conseguenze:
$\Delta f = f(x+h) - f(x)$ nel primo caso (dato, poi, che $\Delta x =h$, si può scrivere - come fa il tuo libro - anche $f(x+\Delta x) - f(x)$),
$\Delta f = f(x_1) - f(x_0)$ nel secondo caso.
_____
($^1$) Se non sai cose come il fatto che $f(x)=x^2$ è una parabola, ti consiglio - oltre a un gran ripasso - di postare nella secondaria di secondo grado per domande sulle derivate perché troverai risposte più "basilari". Nella sezione di analisi si suppongono "assodate" certe conoscenze. (NB. Non è affatto un rimprovero il mio!).
($^2$) Puoi calcolarlo come esercizio quanto vale. E' importante sottolineare in genere che $\Delta f=f(x+h)-f(x)$ non si può calcolare in modo esplicito ma si lascia in quella forma "teorica".
($^3$) In genere, infatti, non vale $f(x+h)-f(x)=h$ vale solo per qualche tipo di retta (quindi quasi mai!).
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