Derivata zero
Ciao a tutti ho il seguente esercizio:
"$f(x)=arctan(x) + arctan(1/x)$ è costante in $R-
{0}$ ?"
Io ho ragionato cosi:
Ho calcolato la derivata prima e viene $0$ quindi ho dedotto che è costante sempre, però il libro mi dice che non è costante. Come e possibile?
Grazie per la disponibilità
"$f(x)=arctan(x) + arctan(1/x)$ è costante in $R-
{0}$ ?"
Io ho ragionato cosi:
Ho calcolato la derivata prima e viene $0$ quindi ho dedotto che è costante sempre, però il libro mi dice che non è costante. Come e possibile?
Grazie per la disponibilità
Risposte
Prova a calcolarla per $x=1$ e per $x=-1$ e osserva che stiamo parlando di tutto il dominio della funzione, che è costituito da due intervalli, non di un solo intervallo.
Allora per $x=1$ fa $\pi/2$ mentre per $x=-1$ l'opposto. Bhe è proprio questo il mio dubbio non dovrebbe essere sempre lo stesso valore? Non ho ben capito cosa comporti il fatto che il dominio sia diviso in due intervalli( tutto $R - 0$)
Dal teorema del valor medio di Lagrange trovi che:
Sia \(f\colon\Omega\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), derivabile in \(\Omega\) e con derivata identicamente nulla, allora \(f\) è costante su ogni intervallo contenuto in \(\Omega\).
Sia \(f\colon\Omega\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), derivabile in \(\Omega\) e con derivata identicamente nulla, allora \(f\) è costante su ogni intervallo contenuto in \(\Omega\).
Scusami si questa la dimostrazione del fatto che se la derivata e zero allora la funzione e costante, solo che non riesco a capire il perche la derivata sia sempre 0 mentre la funzione non e costante
Perché il teorema si applica su intervalli: se la funzione ha derivata id. nulla su un dominio formato da due intervalli allora la funzione sarà costante su entrambi gli intervalli ma sui due intervalli può assumere due valori distinti. Il motivo è chiaro se vai a vedere le ipotesi del teorema di Lagrange.
Scusami allora le ipotesi del teorema sono:
Sia $f:[a,b] -> R $ una funzione continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ allora.....
Non riesco a capire da dove si deduce che se la derivata e nulla allora la funzione è costante su tutto il dominio ma se esso e composto da intervalli allora puo assumere valori diversi nei vari intervalli
Grazie e Buon Anno !
Sia $f:[a,b] -> R $ una funzione continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ allora.....
Non riesco a capire da dove si deduce che se la derivata e nulla allora la funzione è costante su tutto il dominio ma se esso e composto da intervalli allora puo assumere valori diversi nei vari intervalli
Grazie e Buon Anno !
Il fatto è che tra le ipotesi del teorema di Lagrange ce n'è una la cui importanza è sempre sottovalutata.
Tale ipotesi è quella sulla "geometria" dell'insieme di definzione della funzione (cui il teorema si applica), cioé che esso sia un intervallo.
Invero, l'enunciato più classico del teorema:
cessa di esser valido se si sopprime l'ipotesi che \(f\) sia un intervallo, pur mantenendo tutte le altre.
Ad esempio, se prendiamo \(X=[-2,-1]\cup [1,2]\) (che evidentemente non è un intervallo!), per la funzione \(f:X\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(x):=\begin{cases} -1 &\text{, se } -2\leq x\leq -1\\
1 & \text{, se } 1\leq x\leq 2
\end{cases}
\]
valgono tutte le ipotesi del teorema (insieme di definizione chiuso e limitato, continuità in tutto l'insieme di definizione e derivabilità nell'interno) e però non esiste alcun punto \(\xi\in X\) che soddisfi la tesi del teorema di Lagrange con \(a=\inf X = -2\) e \(b=\sup X=2\): infatti, poiché:
\[
\forall x\in ]-2,-1[\cup ]1,2[,\quad f^\prime (x) = 0\; ,
\]
l'uguaglianza:
\[
2=4\ f^\prime (\xi )
\]
(in cui \(2=f(b)-f(a)\) e \(4=b-a\)) non può mai essere soddisfatta[nota]Infatti, comunque scegliamo \(\xi \in \in ]-2,-1[\cup ]1,2[\) si ha \(f^\prime (\xi )=0\) e dunque \(4 f^\prime (\xi)=0\neq 2\).[/nota].
Tale ipotesi è quella sulla "geometria" dell'insieme di definzione della funzione (cui il teorema si applica), cioé che esso sia un intervallo.
Invero, l'enunciato più classico del teorema:
Sia \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una funzione continua in \([a,b]\) e derivabile in \(]a,b[\).
Esiste almeno un punto \(\xi \in ]a,b[\) tale che:
\[
f(b)-f(a) = f^\prime (\xi)\ (b-a)\; .
\]
cessa di esser valido se si sopprime l'ipotesi che \(f\) sia un intervallo, pur mantenendo tutte le altre.
Ad esempio, se prendiamo \(X=[-2,-1]\cup [1,2]\) (che evidentemente non è un intervallo!), per la funzione \(f:X\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(x):=\begin{cases} -1 &\text{, se } -2\leq x\leq -1\\
1 & \text{, se } 1\leq x\leq 2
\end{cases}
\]
valgono tutte le ipotesi del teorema (insieme di definizione chiuso e limitato, continuità in tutto l'insieme di definizione e derivabilità nell'interno) e però non esiste alcun punto \(\xi\in X\) che soddisfi la tesi del teorema di Lagrange con \(a=\inf X = -2\) e \(b=\sup X=2\): infatti, poiché:
\[
\forall x\in ]-2,-1[\cup ]1,2[,\quad f^\prime (x) = 0\; ,
\]
l'uguaglianza:
\[
2=4\ f^\prime (\xi )
\]
(in cui \(2=f(b)-f(a)\) e \(4=b-a\)) non può mai essere soddisfatta[nota]Infatti, comunque scegliamo \(\xi \in \in ]-2,-1[\cup ]1,2[\) si ha \(f^\prime (\xi )=0\) e dunque \(4 f^\prime (\xi)=0\neq 2\).[/nota].
se $x_1$,$x_2$ $in[a,b]$ distinti con $f(x_1)=f(x_2)$, allora tra i punti $x_1,x_2$ esiste almeno un punto $x_0$ (e qui serve che sia un intervallo) tale che è:
$f(x_1)-f(x_2)=f(x_0)'*(x_1-x_2)$ da cui $f(x_1)=f(x_2)$ dato che $f(x_0)'=0$ per ipotesi.
Se poi il dominio non fosse un intervallo per esempio $X=[-1,0]cup[1,2]$ ove definiamo la funzione $h$:
10 in $[-1,0]$
-10 in $[1,2]$
La funzione $h$ è derivabile con derivata nulla in X, ma ivi non costante.
Ciao
Mino
$f(x_1)-f(x_2)=f(x_0)'*(x_1-x_2)$ da cui $f(x_1)=f(x_2)$ dato che $f(x_0)'=0$ per ipotesi.
Se poi il dominio non fosse un intervallo per esempio $X=[-1,0]cup[1,2]$ ove definiamo la funzione $h$:
10 in $[-1,0]$
-10 in $[1,2]$
La funzione $h$ è derivabile con derivata nulla in X, ma ivi non costante.
Ciao
Mino
Bravo gugo82.
hai fatto prima di me !!!
Buon 2014
saluti
Mino
hai fatto prima di me !!!
Buon 2014
saluti
Mino
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