Derivata $X^x$

[Danying]

La derivata di $f(x)=X^x$ si ottiene tramite la regola della funzione composta $[f(x)]^g(x)$

quindi $X^x$= $e^xlogx$ ecco a questo punto come procedo; avevo pensato che venisse $x^x logx$

ma ovviamente è errato perchè è $X^x (logx+1)$

come si arriva a $(logx+1)$ ??

thankx.

[Seneca1]

"mat100":La derivata di $f(x)=X^x$ si ottiene tramite la regola della funzione composta $[f(x)]^g(x)$

quindi $X^x$= $e^xlogx$ ecco a questo punto come procedo; avevo pensato che venisse $x^x logx$

ma ovviamente è errato perchè è $X^x (logx+1)$

come si arriva a $(logx+1)$ ??

thankx.

$f(x)=X^x = e^(x log(x))$

Quale difficoltà c'è nel derivare quella?

$f'(x) = e^(x log(x)) * [ log(x) + 1 ]$

Ma il primo fattore è $x^x$...

$f'(x) = x^x * [ log(x) + 1 ]$


$log(x) + 1$ è la derivata dell'argomento dell'esponenziale (derivata di un prodotto).

[process11]

senza usare quella regola, io farei cosi:
$y=x^x$
calcolo i logaritmi di entrambi i membri:
$lny=lnx^x$
cioè
$lny=xlnx$
derivo entrambi i membri
$1/y*y'=lnx+x*1/x$
isolo $y'$
$y'=y(lnx+1)$
e, dato che $y=x^x$
$y'=x^x(lnx+1)$

[Seneca1]

"blabla":senza usare quella regola, io farei cosi:
$y=x^x$
calcolo i logaritmi di entrambi i membri:
$lny=lnx^x$
cioè
$lny=xlnx$
derivo entrambi i membri
$1/y*y'=lnx+x*1/x$
isolo $y'$
$y'=y(lnx+1)$
e, dato che $y=x^x$
$y'=x^x(lnx+1)$

E' la stessa cosa fatta in maniera più complicata.

[Danying]

"Seneca":

$f(x)=X^x = e^(x log(x))$

Quale difficoltà c'è nel derivare quella?

$f'(x) = e^(x log(x)) * [ log(x) + 1 ]$

Ma il primo fattore è $x^x$...

$f'(x) = x^x * [ log(x) + 1 ]$


$log(x) + 1$ è la derivata dell'argomento dell'esponenziale (derivata di un prodotto).

non me ne volere blabla, ma l'esposto di seneca è più facile . "per me " XD


perfetto; ho rivisto la teoria, in effetti avevo studiato male... mancava un pezzo di dimostrazione... nella regola generale.

per questo si moltiplica appunto $D(e^y)$ che in questo caso è $x^x$ per $[D f(x) log g(x)]$

thanks seneca.

[indovina]

@BLABLA

Questo metodo è particolare, mai l'avevo visto.
Dove lo hai tirato fuori?
E' applicabile sempre?

[Seneca1]

"clever":@BLABLA

Questo metodo è particolare, mai l'avevo visto.
Dove lo hai tirato fuori?
E' applicabile sempre?

E' lo stesso metodo.

$y = f(x)$

$ln(y) = ln(f(x))$ (*)

Passando all'esponenziale:

$y = e^(ln(f(x)))$

Se ci fossimo fermati un passo prima [alla (*), per intenderci] ?

Beh, è la stessa cosa. Differenziando ambo i membri ottieni quello che ha scritto blabla; basta esplicitare $y'$.

[indovina]

"Seneca":[quote="clever"]@BLABLA

Questo metodo è particolare, mai l'avevo visto.
Dove lo hai tirato fuori?
E' applicabile sempre?

E' lo stesso metodo.

$y = f(x)$

$ln(y) = ln(f(x))$ (*)

Passando all'esponenziale:

$y = e^(ln(f(x)))$

Se ci fossimo fermati un passo prima [alla (*), per intenderci] ?

Beh, è la stessa cosa. Differenziando ambo i membri ottieni quello che ha scritto blabla; basta esplicitare $y'$.[/quote]

perfetto.
Si imparano sempre cose nuove.
Certo sta, che il metodo usato da seneca, è molto più veloce e 'standard'