Derivata x/sqrt(x)
Buongiorno, nel mentre ripassavo le derivate sul libro delle superiori mi sono ritrovato di fronte questo esercizio: "calcola la derivata della seguente funzione: $x/sqrt(x)$". Il che di norma sarebbe veramente banale, tuttavia non c'è verso di farla tornare come dice il libro, ovvero $1/(2sqrt(x))$. Ho rifatto i conti circa 10 volte, utilizzando regole di derivazione diverse, riscrivendo la funzione e la frazione in modi diversi ma niente. Vi mostro uno dei tanti modi che ho utilizzato, magari sbaglio da qualche parte...
$(x/sqrt(x))^{\prime}=(sqrt(x)*x(1/(2*sqrt(x))))/(sqrt(x))^2=((sqrt(x)x)/(2sqrt(x)))/(sqrt(x))^2=(sqrt(x)x)/(2sqrt(x)(sqrt(x))^2)$. A questo punto, anche se non sono sicurissimo di poterlo fare impunemente, volendo utilizzare le proprietà delle potenze, posso arrivare a scrivere $(sqrt(x)x)/(2sqrt(x)(sqrt(x))^2)=(sqrt(x)x)/(2(sqrt(x))^3)=x/(2sqrt(x^2))$. Se questo dovesse essere vero posso eventualmente riscriverlo come $x/(2sqrt(x^2))=x/(2|x|)$. Come farei dunque ad ottenere $1/(2sqrt(x))$??
$(x/sqrt(x))^{\prime}=(sqrt(x)*x(1/(2*sqrt(x))))/(sqrt(x))^2=((sqrt(x)x)/(2sqrt(x)))/(sqrt(x))^2=(sqrt(x)x)/(2sqrt(x)(sqrt(x))^2)$. A questo punto, anche se non sono sicurissimo di poterlo fare impunemente, volendo utilizzare le proprietà delle potenze, posso arrivare a scrivere $(sqrt(x)x)/(2sqrt(x)(sqrt(x))^2)=(sqrt(x)x)/(2(sqrt(x))^3)=x/(2sqrt(x^2))$. Se questo dovesse essere vero posso eventualmente riscriverlo come $x/(2sqrt(x^2))=x/(2|x|)$. Come farei dunque ad ottenere $1/(2sqrt(x))$??
Risposte
Ciao Lorenzo_99,
Non è che ti stai facendo troppi problemi? La funzione che hai scritto è ovviamente definita per $x > 0 $, quindi si ha:
$ f(x) = x/sqrtx = (sqrtx \cdot sqrtx)/sqrtx = sqrtx = x^{1/2} \implies f'(x) = 1/2 x^{1/2 - 1} = 1/2 x^{- 1/2} = 1/(2 x^{1/2}) = 1/(2 sqrtx) $
Naturalmente si ottiene lo stesso risultato applicando bene la regola di derivazione del quoziente di due funzioni.
"Lorenzo_99":
"calcola la derivata della seguente funzione: $x/sqrtx $". Il che di norma sarebbe veramente banale, tuttavia non c'è verso di farla tornare come dice il libro, ovvero $1/(2 sqrtx)$
Non è che ti stai facendo troppi problemi? La funzione che hai scritto è ovviamente definita per $x > 0 $, quindi si ha:
$ f(x) = x/sqrtx = (sqrtx \cdot sqrtx)/sqrtx = sqrtx = x^{1/2} \implies f'(x) = 1/2 x^{1/2 - 1} = 1/2 x^{- 1/2} = 1/(2 x^{1/2}) = 1/(2 sqrtx) $
Naturalmente si ottiene lo stesso risultato applicando bene la regola di derivazione del quoziente di due funzioni.
Sbagli qui la regola di derivazione del rapporto
Risulta
$$\left(\frac{x}{\sqrt{x}}\right)'=\frac{\sqrt{x}-x\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}^2}=\frac{\sqrt{x}-\frac{\sqrt{x}}{2}}{x}=\frac{\frac{\sqrt{x}}{2}}{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Dovendo essere $x>0$ per le C.E. della radice al denominatore.
"Lorenzo_99":
$ (x/sqrt(x))^{\prime}=(sqrt(x)*x(1/(2*sqrt(x))))/(sqrt(x))^2$
Risulta
$$\left(\frac{x}{\sqrt{x}}\right)'=\frac{\sqrt{x}-x\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}^2}=\frac{\sqrt{x}-\frac{\sqrt{x}}{2}}{x}=\frac{\frac{\sqrt{x}}{2}}{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Dovendo essere $x>0$ per le C.E. della radice al denominatore.
"pilloeffe":
Ciao Lorenzo_99,
Non è che ti stai facendo troppi problemi? La funzione che hai scritto è ovviamente definita per $x > 0 $, quindi si ha:
$ f(x) = x/sqrtx = (sqrtx \cdot sqrtx)/sqrtx = sqrtx = x^{1/2} \implies f'(x) = 1/2 x^{1/2 - 1} = 1/2 x^{- 1/2} = 1/(2 x^{1/2}) = 1/(2 sqrtx) $
Il problema è proprio l'essere definita per $x > 0 $. A questo procedimento c'avevo già pensato ma non credevo di poterlo applicare in quanto da nessuna parte mi veniva chiesto di studiare il dominio e dunque non potevo a prescindere dire dove valesse o non valesse questa uguaglianza $x/sqrtx = (sqrtx \cdot sqrtx)/sqrtx$.
"Mephlip":
Sbagli qui la regola di derivazione del rapporto
[quote="Lorenzo_99"]$ (x/sqrt(x))^{\prime}=(sqrt(x)*x(1/(2*sqrt(x))))/(sqrt(x))^2 $
Risulta
\[ \left(\frac{x}{\sqrt{x}}\right)'=\frac{\sqrt{x}-x\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}^2}\][/quote]
Chiaramente non potevo non sbagliarmi a ricopiarlo
In ogni caso se mi fossi fermato a $(sqrt(x)-(x/(2sqrt(x))))/((sqrt(x))^2)$ sarebbe stato sbagliato?
"Lorenzo_99":
... in quanto da nessuna parte mi veniva chiesto di studiare il dominio ...
Una funzione è definita da tre cose: dominio, codominio e legge di corrispondenza, non solamente da quest'ultima
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