Derivata vettori - versori.
Salve a tutti ho ragionato un po' sulla formula di Poisson che mi dice :
$ frac{d vec{r}}{dt} = vec{omega} xx vec{r} $ , se il modulo di $vec{r}$ è cost. e $ omega = v/r $
Io ho pensato che
$ frac{d hat{r}}{dt} = vec{omega} xx hat{r} = v * hat(r) _|_ $
è corretto??
come mi spiegereste voi da un punto di vista matematico la derivata di due vettori (in generale), perchè il vettore tangente la curva è perpendicolare al vettore che su ho indicato come vettore posizione $vec{r}$?
ovviamente non mi interessano terminologie fisiche....(l'avrei messo in fisica) ...vorrei un approfondimento sull'argomento...insomma come la spiegereste voi la derivata di un vettore??
Grazie infinite!
$ frac{d vec{r}}{dt} = vec{omega} xx vec{r} $ , se il modulo di $vec{r}$ è cost. e $ omega = v/r $
Io ho pensato che
$ frac{d hat{r}}{dt} = vec{omega} xx hat{r} = v * hat(r) _|_ $
è corretto??
come mi spiegereste voi da un punto di vista matematico la derivata di due vettori (in generale), perchè il vettore tangente la curva è perpendicolare al vettore che su ho indicato come vettore posizione $vec{r}$?
ovviamente non mi interessano terminologie fisiche....(l'avrei messo in fisica) ...vorrei un approfondimento sull'argomento...insomma come la spiegereste voi la derivata di un vettore??
Grazie infinite!
Risposte
Non si capisce proprio niente della domanda, purtroppo. Tu fai differenza tra $hat{r}$ e $vec{r}$? E che cosa significa la seconda identità che hai scritto? Che intendi per "derivata di due vettori"?
A quanto capisco, con [tex]$\vec{r}(t)$[/tex] indichi un vettore non nullo, con [tex]$\hat{r}(t)$[/tex] credo tu indichi il versore lungo la direzione del quale giace [tex]$\vec{r}(t)$[/tex] e con [tex]$r(t)$[/tex] il modulo di [tex]$\vec{r} (t)$[/tex], di modo che:
[tex]$\vec{r} (t)=r(t)\ \hat{r} (t)$[/tex],
giusto?
Ok.
Allora per la sempreverde regola di derivazione del prodotto, si ha:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} t} \vec{r} (t)=\frac{\text{d}}{\text{d} t}r(t)\ \hat{r} (t) +r(t)\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} \hat{r}(t)$[/tex]
e da ciò si capisce che la derivata del vettore [tex]$\vec{r} (t)$[/tex] (che, per inciso, è definita come il vettore che ha per componenti le derivate delle componenti di [tex]$\vec{r} (t)$[/tex]) si può scomporre in un parte "radiale", ossia anch'essa diretta lungo [tex]$\hat{r} (t)$[/tex], che dipende dalla variazione del modulo di [tex]$\vec{r} (t)$[/tex], ed una parte "tangenziale", ossia giacente lungo la direzione di [tex]$\tfrac{\text{d}}{\text{d} t} \hat{r} (t)$[/tex].
D'altra parte, si ha:
[tex]$1=|\hat{r}(t)|^2 = \langle \hat{r} (t), \hat{r} (t)\rangle$[/tex] (qui ho usato il simbolo [tex]$\langle \cdot, \cdot \rangle$[/tex] per denotare il prodotto scalare)
quindi, tenendo presente che pure per il prodotto scalare vale la regola di derivazione del prodotto, derivando i due membri esterni della precedente si trova:
[tex]$2\langle \hat{r} (t), \frac{\text{d}}{\text{d} t} \hat{r} (t)\rangle = \frac{\text{d}}{\text{d} t} \langle \hat{r} (t),\hat{r} (t)\rangle =\frac{\text{d}}{\text{d} t} 1=0$[/tex]
quindi i vettori [tex]$\hat{r} (t)$[/tex] e [tex]$\tfrac{\text{d}}{\text{d} t} \hat{r} (t)$[/tex] sono ortogonali: questo fatto giustifica in parte l'aggettivo "tangenziale" usato per denotare la componente di [tex]$\tfrac{\text{d}}{\text{d} t} \vec{r} (t)$[/tex] agente lungo la direzione di [tex]$\tfrac{\text{d}}{\text{d} t} \hat{r} (t)$[/tex].
Non so se queste cose possano esserti utili... Probabilmente sono un buono spunto.
[tex]$\vec{r} (t)=r(t)\ \hat{r} (t)$[/tex],
giusto?
Ok.
Allora per la sempreverde regola di derivazione del prodotto, si ha:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} t} \vec{r} (t)=\frac{\text{d}}{\text{d} t}r(t)\ \hat{r} (t) +r(t)\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} \hat{r}(t)$[/tex]
e da ciò si capisce che la derivata del vettore [tex]$\vec{r} (t)$[/tex] (che, per inciso, è definita come il vettore che ha per componenti le derivate delle componenti di [tex]$\vec{r} (t)$[/tex]) si può scomporre in un parte "radiale", ossia anch'essa diretta lungo [tex]$\hat{r} (t)$[/tex], che dipende dalla variazione del modulo di [tex]$\vec{r} (t)$[/tex], ed una parte "tangenziale", ossia giacente lungo la direzione di [tex]$\tfrac{\text{d}}{\text{d} t} \hat{r} (t)$[/tex].
D'altra parte, si ha:
[tex]$1=|\hat{r}(t)|^2 = \langle \hat{r} (t), \hat{r} (t)\rangle$[/tex] (qui ho usato il simbolo [tex]$\langle \cdot, \cdot \rangle$[/tex] per denotare il prodotto scalare)
quindi, tenendo presente che pure per il prodotto scalare vale la regola di derivazione del prodotto, derivando i due membri esterni della precedente si trova:
[tex]$2\langle \hat{r} (t), \frac{\text{d}}{\text{d} t} \hat{r} (t)\rangle = \frac{\text{d}}{\text{d} t} \langle \hat{r} (t),\hat{r} (t)\rangle =\frac{\text{d}}{\text{d} t} 1=0$[/tex]
quindi i vettori [tex]$\hat{r} (t)$[/tex] e [tex]$\tfrac{\text{d}}{\text{d} t} \hat{r} (t)$[/tex] sono ortogonali: questo fatto giustifica in parte l'aggettivo "tangenziale" usato per denotare la componente di [tex]$\tfrac{\text{d}}{\text{d} t} \vec{r} (t)$[/tex] agente lungo la direzione di [tex]$\tfrac{\text{d}}{\text{d} t} \hat{r} (t)$[/tex].
Non so se queste cose possano esserti utili... Probabilmente sono un buono spunto.
gugo82 ha interpretato bene quello che volevo dire (x Dissonance). Scusate la poca chiarezza, ma quando si hanno difficoltà nella propria testa, esprimerle è complicato....
Giusto per non passare da completo ignorante avevo capito la prima parte che gugo82 ha spiegato (in modo molto chiaro), ma quello che mi interessava era esattamente il discorso su i due vettori ortogonali e il prodotto scalare... Grazie tanto!!!
per Dissonance (in particolare): per "due vettori" ho fatto confusione tra il limite per " $Delta (t)$ " che tende a $ 0 $ del rapporto incrementale di "due vettori"!!
che poi sarebbe la derivata del vettore....
comunque GRAZIE 100000
Giusto per non passare da completo ignorante avevo capito la prima parte che gugo82 ha spiegato (in modo molto chiaro), ma quello che mi interessava era esattamente il discorso su i due vettori ortogonali e il prodotto scalare... Grazie tanto!!!
per Dissonance (in particolare): per "due vettori" ho fatto confusione tra il limite per " $Delta (t)$ " che tende a $ 0 $ del rapporto incrementale di "due vettori"!!
che poi sarebbe la derivata del vettore....
comunque GRAZIE 100000
gugo82 potresti applicare la stessa dimostrazione nel caso di un vettore dello spazio tridimensionale \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) ?
Come si dovrebbe fare se avessimo un vettore \(\displaystyle \vec{u(t)}=u_x(t)\hat{i}+u_y(t)\hat{j}+u_z(t)\hat{k} \)
Come si dovrebbe fare se avessimo un vettore \(\displaystyle \vec{u(t)}=u_x(t)\hat{i}+u_y(t)\hat{j}+u_z(t)\hat{k} \)
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