Derivata versore rotante
qualcuno sa dimostrarmi quanto vale la derivata di un versore rotante?
Risposte
up!
E' un vettore ortogonale istante per istante al versore di partenza.
Dim:
|| x || = 1
< x , x > = || x || = 1
D < x , x > = D || x || = D 1 = 0
Ma:
D < x , x > = < D x , x > + < x , D x > = 2 < D x , x >
Quindi:
D x _|_ x.
Ho indicato con D la derivata rispetto al tempo e con < . , . > il prodotto scalare. x e', ovviamente, il versore di partenza.
Non so se questo sia la risposta a quello che chiedevi o se interessava in modo piu' specifico la derivata di un versore che percorre una circonferenza...
Dim:
|| x || = 1
< x , x > = || x || = 1
D < x , x > = D || x || = D 1 = 0
Ma:
D < x , x > = < D x , x > + < x , D x > = 2 < D x , x >
Quindi:
D x _|_ x.
Ho indicato con D la derivata rispetto al tempo e con < . , . > il prodotto scalare. x e', ovviamente, il versore di partenza.
Non so se questo sia la risposta a quello che chiedevi o se interessava in modo piu' specifico la derivata di un versore che percorre una circonferenza...
è più o meno questo quello che ti chiedevo, solamente che mi interessava la derivata rispetto l'angolo, ed in questo caso il modulo del versore non'è più unitario, anche se non'ho capito il perchè
Beh il versore, per definizione, ha modulo 1...
Non ho capito esattamente cosa intendi dire, ma provo a risponderti lo stesso.
Se il versore ruota allora l'angolo e' funzione del tempo quindi se "a" e' l'angolo:
(d / (da)) x = (d / (dt)) * (dt / (da)) x
Quindi la derivata rispetto all'angolo e' uguale a quella rispetto al tempo come direzione. Varia al massimo come verso (se l'angolo diminuisce all'aomentare del tempo) e come modulo.
Nel caso di circonferenza di raggio 1 si ha che l'angolo diventa l'ascissa curvilinea (se e' espresso in radianti) e quindi la derivata rispetto all'angolo e' il versore tangente alla circonferenza e ortogonale al versore di partenza.
Non ho capito esattamente cosa intendi dire, ma provo a risponderti lo stesso.
Se il versore ruota allora l'angolo e' funzione del tempo quindi se "a" e' l'angolo:
(d / (da)) x = (d / (dt)) * (dt / (da)) x
Quindi la derivata rispetto all'angolo e' uguale a quella rispetto al tempo come direzione. Varia al massimo come verso (se l'angolo diminuisce all'aomentare del tempo) e come modulo.
Nel caso di circonferenza di raggio 1 si ha che l'angolo diventa l'ascissa curvilinea (se e' espresso in radianti) e quindi la derivata rispetto all'angolo e' il versore tangente alla circonferenza e ortogonale al versore di partenza.
scusami non mi sono spiegato bene, il perchè sono ortogonali l'ho capito benissimo. E ti dico pure una cosa. Il discorso, me l'hanno spiegato tre professori diversi, in tre materie diverse, ma mai in modo, così e chiaro e rigoroso, come l'hai fatto tu.....Posso finalmente dire che il discorso l'ho capito e ti ringrazio tanto...
ho un versore x, x=x(a) con a l'angolo. Suppoongo che a non'è funzione del tempo, mod[(d/(da))x] vale sempre 1? a pagina 14 di questi appunti dice di no, anche se non'ho capito la spiegazione. http://www.sfismed.univr.it/Didattica/O ... ori%20.pdf
ho un versore x, x=x(a) con a l'angolo. Suppoongo che a non'è funzione del tempo, mod[(d/(da))x] vale sempre 1? a pagina 14 di questi appunti dice di no, anche se non'ho capito la spiegazione. http://www.sfismed.univr.it/Didattica/O ... ori%20.pdf
Indico con ||.|| la norma (o modulo)
Allora:
|| x || = 1
Se x e' un versore, indipendentemente dal fatto che x sia funzione dell'angolo, del tempo o di qualunque altra cosa (compreso il segno zodiacale del prof che ha scritto il libro
) esso ha modulo 1.
d/da x e' un vettore che ha modulo a priori DIVERSO da 1. Si puo' dire che ha modulo 1 solo nel caso di cui ho parlato prima, altrimenti non si puo' dire quanto valga il modulo (potrebbe essere ancora uguale a 1, ma potrebbe anche non esserlo).
Non c'e' una dimostrazione sul fatto che la derivata di un versore sia o meno un versore. Esistono, al limite, dei casi particolari nei quali si riesce a stabilire a priori che la derivata di un versore (ma anche di un vettore) e' un versore (ascissa curvilinea)...
La regola e' semplicemente questa:
La derivata di un versore puo' essere qualunque cosa.
Scusami se l'ho fatta lunga, ma sapendo di essere confusionario ho preferito ripetere piu' volte lo stesso concetto sperando di essere stato chiaro almeno una volta.
Allora:
|| x || = 1
Se x e' un versore, indipendentemente dal fatto che x sia funzione dell'angolo, del tempo o di qualunque altra cosa (compreso il segno zodiacale del prof che ha scritto il libro
) esso ha modulo 1.d/da x e' un vettore che ha modulo a priori DIVERSO da 1. Si puo' dire che ha modulo 1 solo nel caso di cui ho parlato prima, altrimenti non si puo' dire quanto valga il modulo (potrebbe essere ancora uguale a 1, ma potrebbe anche non esserlo).
Non c'e' una dimostrazione sul fatto che la derivata di un versore sia o meno un versore. Esistono, al limite, dei casi particolari nei quali si riesce a stabilire a priori che la derivata di un versore (ma anche di un vettore) e' un versore (ascissa curvilinea)...
La regola e' semplicemente questa:
La derivata di un versore puo' essere qualunque cosa.
Scusami se l'ho fatta lunga, ma sapendo di essere confusionario ho preferito ripetere piu' volte lo stesso concetto sperando di essere stato chiaro almeno una volta.
quote:
Originally posted by david_e
Beh il versore, per definizione, ha modulo 1...
Non ho capito esattamente cosa intendi dire, ma provo a risponderti lo stesso.
Se il versore ruota allora l'angolo e' funzione del tempo quindi se "a" e' l'angolo:
(d / (da)) x = (d / (dt)) * (dt / (da)) x
Quindi la derivata rispetto all'angolo e' uguale a quella rispetto al tempo come direzione. Varia al massimo come verso (se l'angolo diminuisce all'aomentare del tempo) e come modulo.
Nel caso di circonferenza di raggio 1 si ha che l'angolo diventa l'ascissa curvilinea (se e' espresso in radianti) e quindi la derivata rispetto all'angolo e' il versore tangente alla circonferenza e ortogonale al versore di partenza.
quindi che (d/(dt))x=(d/(da)x*(d/(dt)a= n
con n versore normale a x
pertanto (d/(da)x=(d/(da)t*n
quindi (d/(da)x dipende dalla velocità alla quale ruota il mio versore, giusto? Allora il modulo non'è unitario?
No allora:
d / dt x = K(t) n = D x
d / da x = (d / (dt)) (dt / da) x = K(t) n (dt / da)
(dt / da) dipende dall'INVERSO della velocita' di rotazione.
K(t) e', in genere, diverso da 1. Quindi D x non e' un versore, ma e' un vettore generato dal versore "n" moltiplicato per uno scalare da determinare facendo i conti.
L'unica possibilita' di avere modulo unitario facendo d/da e' questa:
Immaginiamo che a non sia piu' l'angolo, ma un qualche cosa dipendente dal tempo e preso in modo che (dt / da) = 1/K(t): a questo punto calcolando (d / da) x si ottiene il versore "n"...
L'importante e' notare come NE d/dt x NE d/da x siano a priori versori.
d / dt x = K(t) n = D x
d / da x = (d / (dt)) (dt / da) x = K(t) n (dt / da)
(dt / da) dipende dall'INVERSO della velocita' di rotazione.
K(t) e', in genere, diverso da 1. Quindi D x non e' un versore, ma e' un vettore generato dal versore "n" moltiplicato per uno scalare da determinare facendo i conti.
L'unica possibilita' di avere modulo unitario facendo d/da e' questa:
Immaginiamo che a non sia piu' l'angolo, ma un qualche cosa dipendente dal tempo e preso in modo che (dt / da) = 1/K(t): a questo punto calcolando (d / da) x si ottiene il versore "n"...
L'importante e' notare come NE d/dt x NE d/da x siano a priori versori.
scusami non vorrei essere stressante....é che sono molto teso per l-esame, ma ora non mi é chiaro questo esempio...
guarda questa immagine
http://img385.imageshack.us/my.php?imag ... pia1hk.gif
in questo caso perché non mi ha aggiunto la il termine K(t)?
guarda questa immagine
http://img385.imageshack.us/my.php?imag ... pia1hk.gif
in questo caso perché non mi ha aggiunto la il termine K(t)?
e poi perche posso approssimare dx a da? dx non'é uguale a x(a)*sen da. Ancora grazie
No non preoccuparti nn 6 stressante e' giusto che tu chieda (soprattutto se non sono stato chiaro).
Premetto che il termine K(t) nasce dal fatto che, per chiarezza, ho voluto scomporre il vettore d /dt x nel prodotto fra un versore e la sua norma, e' solo un modo di scrivere che rende piu' evidenti le cose. In pratica, poi, quando si calcola la derivata del vettore questo "K(t)" e' un termine che non compare esplicitamente nel calcolo, ma rimane nascosto nel vettore derivata. Quindi quando fai la derivata di un vettore non e' necessario preoccuparsi di questo termine visto che "salta fuori da solo" e non va' aggiunto.
Nell'immagine piu' che la derivata del vettore si calcola il DIFFERENZIALE del vettore pensato come funzione dell'angolo. Il differenziale e' la migliore approssimazione LINEARE della funzione. Quindi si devono trascurare i termini di ordine superiore al primo. Siccome da * x e' la lunghezza dell'arco spazzolato dal vettore (se la lunghezza del vettore e' costante!) esso e' approssimabile a |dx| che rappresenta la corda sottesa dall'arco.
PS: Sono molto arrugginito di trigonometria e i miei calcoli sono spesso sbagliati. Tuttavia a me non risulta che dx = x(a) sin (da)...
Premetto che il termine K(t) nasce dal fatto che, per chiarezza, ho voluto scomporre il vettore d /dt x nel prodotto fra un versore e la sua norma, e' solo un modo di scrivere che rende piu' evidenti le cose. In pratica, poi, quando si calcola la derivata del vettore questo "K(t)" e' un termine che non compare esplicitamente nel calcolo, ma rimane nascosto nel vettore derivata. Quindi quando fai la derivata di un vettore non e' necessario preoccuparsi di questo termine visto che "salta fuori da solo" e non va' aggiunto.
Nell'immagine piu' che la derivata del vettore si calcola il DIFFERENZIALE del vettore pensato come funzione dell'angolo. Il differenziale e' la migliore approssimazione LINEARE della funzione. Quindi si devono trascurare i termini di ordine superiore al primo. Siccome da * x e' la lunghezza dell'arco spazzolato dal vettore (se la lunghezza del vettore e' costante!) esso e' approssimabile a |dx| che rappresenta la corda sottesa dall'arco.
PS: Sono molto arrugginito di trigonometria e i miei calcoli sono spesso sbagliati. Tuttavia a me non risulta che dx = x(a) sin (da)...
quote:
Originally posted by david_e
No non preoccuparti nn 6 stressante e' giusto che tu chieda (soprattutto se non sono stato chiaro).
Premetto che il termine K(t) nasce dal fatto che, per chiarezza, ho voluto scomporre il vettore d /dt x nel prodotto fra un versore e la sua norma, e' solo un modo di scrivere che rende piu' evidenti le cose. In pratica, poi, quando si calcola la derivata del vettore questo "K(t)" e' un termine che non compare esplicitamente nel calcolo, ma rimane nascosto nel vettore derivata. Quindi quando fai la derivata di un vettore non e' necessario preoccuparsi di questo termine visto che "salta fuori da solo" e non va' aggiunto.
Nell'immagine piu' che la derivata del vettore si calcola il DIFFERENZIALE del vettore pensato come funzione dell'angolo. Il differenziale e' la migliore approssimazione LINEARE della funzione. Quindi si devono trascurare i termini di ordine superiore al primo. Siccome da * x e' la lunghezza dell'arco spazzolato dal vettore (se la lunghezza del vettore e' costante!) esso e' approssimabile a |dx| che rappresenta la corda sottesa dall'arco.
PS: Sono molto arrugginito di trigonometria e i miei calcoli sono spesso sbagliati. Tuttavia a me non risulta che dx = x(a) sin (da)...
scusami non so cosa sia successo. comunque grazie mille....ciao david
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