Derivata undicesima

[maddy_change]

ciao
come faccio a trovare la $f^11(x)$ di $f(x)=(Sh(3x))/(1+x^2)$ ???

[Lord K]

Uhm... ci dovrebbe essere qualche inghippo che ti evita il calcolo manuale di tutte queste derivate.

Ma $Sh(3x) = sinh(3x)$ ????

[qwertyuio1]

Se Sh=Sinh, ci dev'essere qualcosa che non va... Il risultato infatti, trovato col computer, è

Cosh[x]/(1 + x^2) +
11 ((3715891200 x^10)/(1 + x^2)^11 - (
8360755200 x^8)/(1 + x^2)^10 + (6502809600 x^6)/(1 + x^2)^9 - (
2032128000 x^4)/(1 + x^2)^8 + (217728000 x^2)/(1 + x^2)^7 -
3628800/(1 + x^2)^6) Cosh[x] +
165 ((10321920 x^8)/(1 + x^2)^9 - (18063360 x^6)/(1 + x^2)^8 + (
9676800 x^4)/(1 + x^2)^7 - (1612800 x^2)/(1 + x^2)^6 +
40320/(1 + x^2)^5) Cosh[x] +
462 ((46080 x^6)/(1 + x^2)^7 - (57600 x^4)/(1 + x^2)^6 + (
17280 x^2)/(1 + x^2)^5 - 720/(1 + x^2)^4) Cosh[x] +
330 ((384 x^4)/(1 + x^2)^5 - (288 x^2)/(1 + x^2)^4 +
24/(1 + x^2)^3) Cosh[x] +
55 ((8 x^2)/(1 + x^2)^3 - 2/(1 + x^2)^2) Cosh[x] - (
22 x Sinh[x])/(1 +
x^2)^2 + (-((81749606400 x^11)/(1 + x^2)^12) + (
204374016000 x^9)/(1 + x^2)^11 - (
183936614400 x^7)/(1 + x^2)^10 + (71530905600 x^5)/(1 + x^2)^9 - (
11176704000 x^3)/(1 + x^2)^8 + (479001600 x)/(1 + x^2)^7) Sinh[
x] + 55 (-((185794560 x^9)/(1 + x^2)^10) + (
371589120 x^7)/(1 + x^2)^9 - (243855360 x^5)/(1 + x^2)^8 + (
58060800 x^3)/(1 + x^2)^7 - (3628800 x)/(1 + x^2)^6) Sinh[x] +
330 (-((645120 x^7)/(1 + x^2)^8) + (967680 x^5)/(1 + x^2)^7 - (
403200 x^3)/(1 + x^2)^6 + (40320 x)/(1 + x^2)^5) Sinh[x] +
462 (-((3840 x^5)/(1 + x^2)^6) + (3840 x^3)/(1 + x^2)^5 - (
720 x)/(1 + x^2)^4) Sinh[x] +
165 (-((48 x^3)/(1 + x^2)^4) + (24 x)/(1 + x^2)^3) Sinh[x]


Sei sicura che la richiesta non sia la derivata seconda, che si indica con f''?

[qwertyuio1]

Scusa, quella che ti ho scritto è la derivata undicesima di Sinh[x]/(1+x^2). Comunque la mole del risultato non cambia.

[maddy_change]

si con $Sh$ intendo $sinh$


cmq l esercizio era proprio trova la derivata undicesima di quel rapporto in $f(0)$

io avevo pensato di usare taylor...ma qui si tratta di un rapporto...come si fa?

[dissonance]

"maddy_change":
cmq l esercizio era proprio trova la derivata undicesima di quel rapporto in $0$

Aaaaahhhhnnnn....
E questo cambia tutto. Infatti, la strada giusta è proprio determinare lo sviluppo in serie di Taylor di quella funzione di centro 0. Il trucco è trovare un modo per determinare lo sviluppo senza fare tutte le derivate, naturalmente. Un'idea è ricondursi a serie note. Infatti di $"Sinh"$ si conosce uno sviluppo di centro 0, convergente mi pare su tutto $RR$.
Per il termine $1/(1+x^2)$ c'è un trucco standard. Scriviamo $1/(1+x^2)=1/(1-[- (x)^2])$. Quando $x^2<1$, ovvero per $|x|<1$, questa è proprio la somma della serie geometrica $sum_{n=0}^infty(-1)^n(x^(2n))$.

Quindi, ricordando lo sviluppo in serie di potenze di $"Sinh"(x)=sum_{n=0}^inftyx^(2n+1)/((2n+1)!)$, ricaviamo che $("Sinh"(x))/(1+x^2)=(sum_{n=0}^inftyx^(2n+1)/((2n+1)!))*(sum_{n=0}^infty(-1)^n(x^(2n)))$, vero per ogni $x$ tale che $-1.
Cosa più importante, per le $x$ dell'intervallo di sopra, entrambe le serie convergono assolutamente. Per forza: una serie di potenze converge sempre assolutamente, nell'interno del suo intervallo di convergenza; e per la serie geometrica basta fare una rapida verifica. Quindi, quel prodotto di serie si può trasformare in una serie sola mediante il prodotto di Cauchy.

P.S.: Non escludo che ci sia un metodo più veloce! Io procederei così, però.