Derivata terza e sua interpretazione geometrica
Scommetto che non tutti sanno che anche la derivata terza ha la sua bella interpretazione geometrica.
Risposte
no, non lo sapevo...
qual'è???? adesso sono curioso.. lol
qual'è???? adesso sono curioso.. lol
idem..
Provate a prendere una cubica non iniettiva come $y=x^3-2x$
e guardate un po' il punto di max e di min.
Il punto di max è più ripido a sinistra o a destra?
e guardate un po' il punto di max e di min.
Il punto di max è più ripido a sinistra o a destra?
A sinistra di $-sqrt(2/3)$ mi sembra dal grafico..
Così sembra anche a me....
Se f''' > 0 (e qui vale 6), la f'' è crescente.
Quindi diventa "sempre più convessa" andando verso destra.
Se mi metto in un p.to di min locale non degenere (cioè con f'' >0), la f sarà localmente convessa, ma "più convessa" a dx del punto.
Cercando skewness e third derivative escono fuori vari link interessanti.
Ne segnalo due:
http://goliath.ecnext.com/coms2/gi_0199 ... n-and.html
http://www.haas.berkeley.edu/groups/fin ... 63-rev.pdf
Quindi diventa "sempre più convessa" andando verso destra.
Se mi metto in un p.to di min locale non degenere (cioè con f'' >0), la f sarà localmente convessa, ma "più convessa" a dx del punto.
Cercando skewness e third derivative escono fuori vari link interessanti.
Ne segnalo due:
http://goliath.ecnext.com/coms2/gi_0199 ... n-and.html
http://www.haas.berkeley.edu/groups/fin ... 63-rev.pdf
in effetti,considerando $f(-x)$ $y=-x^3+2x$ si vede come il punto di minimo sia più ripido a sinistra..
Se la derivata terza è $\geq 0$ allora la derivata prima della funzione è convessa.
Si ottiene che
$f'((x_1+x_2)/2) \leq (f'(x_1)+f'(x_2))/2$
la formula va letta così:
la derivata nel punto medio di un intervallo è $\leq$ della media delle derivate calcolate
negli estremi dell'intervallo.
Risultato curioso, per chi volesse ulteriori informazioni può vedere
il numero 4/2005 della mitica rivista "Archimede"
Si ottiene che
$f'((x_1+x_2)/2) \leq (f'(x_1)+f'(x_2))/2$
la formula va letta così:
la derivata nel punto medio di un intervallo è $\leq$ della media delle derivate calcolate
negli estremi dell'intervallo.
Risultato curioso, per chi volesse ulteriori informazioni può vedere
il numero 4/2005 della mitica rivista "Archimede"
Ciao franced,
hai per caso una dimostrazione della disuguaglianza che hai riportato?
Va bene anche un link esterno, ovviamente.
Buona serata.
hai per caso una dimostrazione della disuguaglianza che hai riportato?
Va bene anche un link esterno, ovviamente.
Buona serata.
Una funzione $h$, definita su un intervallo $I$, è convessa se:
$h(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \le \lambda h(x_1) + (1 - \lambda) h(x_2)$
per ogni $x_1,x_2 \in I$ e per ogni $\lambda \in [0,1]$.
Quindi la formuletta sopra è solo un caso particolare (come detto, se $f''' > 0$, la $f'$ è convessa). $\lambda = 1/2$.
$h(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \le \lambda h(x_1) + (1 - \lambda) h(x_2)$
per ogni $x_1,x_2 \in I$ e per ogni $\lambda \in [0,1]$.
Quindi la formuletta sopra è solo un caso particolare (come detto, se $f''' > 0$, la $f'$ è convessa). $\lambda = 1/2$.
"Steven":
Ciao franced,
hai per caso una dimostrazione della disuguaglianza che hai riportato?
Va bene anche un link esterno, ovviamente.
Guarda la rivista purtroppo è solo in forma cartacea.
In ogni caso è proprio una bella curiosità, no?!
"Fioravante Patrone":
Una funzione $h$, definita su un intervallo $I$, è convessa se:
$h(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \le \lambda h(x_1) + (1 - \lambda) h(x_2)$
per ogni $x_1,x_2 \in I$ e per ogni $\lambda \in [0,1]$.
Quindi la formuletta sopra è solo un caso particolare (come detto, se $f''' > 0$, la $f'$ è convessa). $\lambda = 1/2$.
Va bene, ti ringrazio.
In realtà non sapevo minimamente che una funzione convessa era così definita.
"franced":
Guarda la rivista purtroppo è solo in forma cartacea.
Non fa niente, grazi comunque.
"Steven":
[quote="Fioravante Patrone"]Una funzione $h$, definita su un intervallo $I$, è convessa se:
$h(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \le \lambda h(x_1) + (1 - \lambda) h(x_2)$
per ogni $x_1,x_2 \in I$ e per ogni $\lambda \in [0,1]$.
Quindi la formuletta sopra è solo un caso particolare (come detto, se $f''' > 0$, la $f'$ è convessa). $\lambda = 1/2$.
Va bene, ti ringrazio.
In realtà non sapevo minimamente che una funzione convessa era così definita.
[/quote]
E' una cosa formale per dire una cosa molto semplice:
la retta che unisce i punti $((x_1),(f(x_1)))$ e $((x_2),(f(x_2)))$
sta sopra il grafico della funzione.
La combinazione convessa serve come parametrizzazione del segmento.
"Steven":
In realtà non sapevo minimamente che una funzione convessa era così definita.
Interessante...
Ovviamente hai fatto studi di funzione e hai studiato al convessità delle funzioni.
Senza sapere cosa vuol dire che una funzione è convessa (versione analitica "mia" o versione geometrica di franced). Molto interessante
"Fioravante Patrone":
[quote="Steven"]
In realtà non sapevo minimamente che una funzione convessa era così definita.
Interessante...
Ovviamente hai fatto studi di funzione e hai studiato al convessità delle funzioni.
Senza sapere cosa vuol dire che una funzione è convessa (versione analitica "mia" o versione geometrica di franced). Molto interessante
[/quote]Chissà, forse avrà avuto altre definizioni..
Finito il liceo, io sapevo questa definizione (estremamente formale) di funzione convessa: una funzione è convessa quando rivolge la concavità verso l'alto...
"Fioravante Patrone":
[quote="Steven"]
In realtà non sapevo minimamente che una funzione convessa era così definita.
Ovviamente hai fatto studi di funzione e hai studiato al convessità delle funzioni.
Senza sapere cosa vuol dire che una funzione è convessa (versione analitica "mia" o versione geometrica di franced). Molto interessante
[/quote]Conoscevo il legame di concavità e convessità con il segno della derivata seconda.
E anche il significato geometrico, sintetizzato dicendo che una funzione è convessa in $x_0$ se esiste un intorno del punto per il quale si ha $f(x)>y_t(x)$ dove $y$ è la retta tangente la curva in $x_0$.
Questo mi hanno insegnato.
"Steven":
Conoscevo il legame di concavità e convessità con il segno della derivata seconda.
E anche il significato geometrico, sintetizzato dicendo che una funzione è convessa in $x_0$ se esiste un intorno del punto per il quale si ha $f(x)>y_t(x)$ dove $y$ è la retta tangente la curva in $x_0$.
Questo mi hanno insegnato.
Tornando serio, vorrei dire due cose sulla definizione di "convessità in un punto".
Preciserei intanto che hai:
- convessità "in $x_0$" se $f(x) \ge y_t(x)$ in almeno un intorno
- stretta convessità "in $x_0$" se se $f(x) > y_t(x)$ (escluso naturalmente il punto $x_0$)
Notare l'ossimoro: ovviamente non si tatta di convessità in un punto (che non ha senso) ma di una opportuna nozione di convessità locale (in $x_0$).
Detto questo, in realtà questa nozione non serve praticamente a niente.
La nozione di convessità che davvero serve è quella che ho scritto, o la sua "versione "geometrica" di franced. Tra l'alto questa conduce a un'altra definizione equivalente e molto usata in tempi "ragionevolmente recenti", la quale richiede che l'epigrafico della funzione sia un insieme convesso).
"Steven":
Conoscevo il legame di concavità e convessità con il segno della derivata seconda.
E anche il significato geometrico, sintetizzato dicendo che una funzione è convessa in $x_0$ se esiste un intorno del punto per il quale si ha $f(x)>y_t(x)$ dove $y$ è la retta tangente la curva in $x_0$.
Questo mi hanno insegnato.
Secondo la tua definizione c'è bisogno della retta tangente.
Prova a vedere cosa succede per questa:
$f(x)=|x|$
"Fioravante Patrone":
Notare l'ossimoro: ovviamente non si tatta di convessità in un punto (che non ha senso) ma di una opportuna nozione di convessità locale (in $x_0$).
Ho capito.
Scusa, ma questa nozione non equivale a quella geometrica di franced? Praticamente sto dicendo che la funzione sta sopra la retta.
Per scrupolo ho anche riaperto il libro, e anche qui noto la frase "convesso/concavo in $x_0$".
La disuguaglianza che citi tu, lui la classifica più avanti come una "proprietà delle funzioni convesse".
Quindi mi pare di capire che alcuni prendono la tua nozione come una proprietà, e alcuni come definizione.
Prova a vedere cosa succede per questa:
$f(x)=|x|$
Non saprei.
Se fossi obbligato a rispondere entro 3 secondi, pena la morte, direi che ogni punto è un flesso.
Non capisco il perché del modulo, la derivata seconda è sempre nulla come in una qualsiasi retta.
Ma altrimenti starei in silenzio, farei una figura migliore mi sa.
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