Derivata sostanziale

[SeccoJones]

Non sapevo se aprire qui il topic, o nella sezione ingegneria, ma spero di non aver sbagliato.
Volevo chiedere semplicimente se qualcuno di voi è in grado di spiegarmi perché la derivata sostanziale venga definita nel seguente modo:
$
\frac{D\mathbf{u}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla \mathbf{u} $
con $mathbf{u} $ campo vettoriale.

Vorrei più che altro una spiegazione analitica, con passaggi matematici del perché si arriva a quella forma di derivata. Il significato fisico l' ho capito, ma non capisco perché matematicamente è così definita.
Spero che qualcuno possa aiutarmi, grazie in anticipo!

[SeccoJones]

Ti ringrazio molto della tua risposta!
Volevo però chiarire dei punti:
$f$ sarebbe quindi una funzione in rappresentazione Lagrangiana che ha come variabili indipendenti il tempo, e con $x$ intendi la posizione? Perché in tal caso non mi torna il fatto che se fossi in coordinate Lagrangiane la funzione $f$ dovrebbe essere funzione della particella e non della posizione $x$, giusto?
Scusami se non mi sono spiegato chiaramente. Poi per il resto i passaggi con gli sviluppi di taylor mi sono chiarissimi!
E volevo chiderti anche se tu conoscessi libri, dispense, pdf in cui l' argomento è trattato in maniera abbastanza dettagliata visto che ho trovato solo spiegazioni abbastanza immediate. Grazie ancora!

[SeccoJones]

Rivedendo altri appunti che avevo sono riuscito a capire più o meno la maggior parte delle cose, ovviamente quello che mi mancava di più era il passaggio con l' approssimazione di Taylor che non avevo preso in considerazione, in quanto nei miei appunti veniva data la definizione della derivata sostanziale e basta e non a come si arrivava a quella forma. Ti ringrazio molto per l' ottimo aiuto!

[Raptorista1]

Nel caso \(u\) scalare, la definizione si interpreta banalmente come derivata della funzione composta, cioè
\[
\frac D {Dt} u(\mathbf x, t) = \frac{d}{dt} u(\mathbf x(t),t) = \frac{\partial}{\partial t} u + \frac{\partial}{\partial \mathbf x} u \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} u + \nabla_\mathbf x u \cdot \dot{\mathbf x}.
\]

Nel caso di \(u\) vettore fai sempre la stessa cosa, usando però un "gradiente" opportuno.

[SeccoJones]

Avevo letto delle spiegazioni in cui si faceva riferimento alla derivata della funzione composta, o derivata della catena, ma se così fosse non mi torna il $+$ che c'è nella derivata sostanziale, in quanto nella derivata di funzione composta avrei solo dei prodotti, o sbaglio?

[Raptorista1]

Sbagli! La derivata della composizione di funzioni, per una funzione di più variabili, è la somma delle derivate delle composizioni in ciascuna variabile. In formule,
\[
\frac d {dt} f(x(t),y(t)) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac {dx} {dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac {dy}{dt}.
\]

[SeccoJones]

Ah ora ho capito cosa intendevi, è una funzione in più variabili, le quali variabili dipendono a loro volta dalla variabile $t$ e facendo le varie derivate con la regola per la derivazione delle funzioni composte si arriva a tale formulazione. Ovvero mi spiego meglio, facendo la derivata in $dt$ di una funzione ad esempio $f(x(t),y(t),z(t))$ si arriva all' espressione $$ con $X'$ le derivata delle funzioni $x(t),y(y),z(t)$ e$nabla f(x,y,z)$ il gradiente di tale funzione. Ora è corretto? In una situazione del genere facevo le derivate automaticamente in funzione di $t$ sostituendo alla funzione $f(x(t),y(t),z(t))$ la sua formulazione in funzione solo della $t$ appunto, senza sapere della formalizzazione di tale formula! Spero di essermi spiegato!

[SeccoJones]

Up! Sarei grato se qualcuno riuscisse a darmi questa conferma!

[Raptorista1]

Sì, è corretto. Hai ridetto quello che ho detto io

[SeccoJones]

Ti ringrazio per avermi sollevato dal dubbio! Ultimissima cosa e poi la smetto, nella derivata sostanziale, oltre alla parte $<∇u(x(t),y(t),z(t),t),X'(t)>$ che viene appunto dalla regola della catena compare anche $(delu)/(delt)$ perché la funzione stessa $u(x(t),y(t),z(t),t)$ dipende "direttamente" anche da $t$? Scusa se insisto ma più guardo la derivata e più mi vengono idee e dubbi! Spero di essermi spiegato!

[Raptorista1]

Sì, è quello il motivo. Lo vedi benissimo se aggiungi al gradiente di \(u\) la componente fittizia della derivata in tempo e in \(X'\) aggiungi la componente analoga che è \(\frac{dt}{dt} = 1\)

[SeccoJones]

Si si proprio quello che intendevo! Perfetto, a posto così allora, grazie mille!

[Iris941]

Scrivo qui dato che non ho capito due passaggi xD
Come mai nello sviluppo in serie di Taylor compare $o(δ^2)$ e non $o(δ)$?
E perché quando si passa al limite per $δt -> 0$ scompare il termine $o(δ^2)$?

[dissonance]

"Secco Jones":Ah ora ho capito cosa intendevi, è una funzione in più variabili, le quali variabili dipendono a loro volta dalla variabile $t$ e facendo le varie derivate con la regola per la derivazione delle funzioni composte si arriva a tale formulazione. Ovvero mi spiego meglio, facendo la derivata in $dt$ di una funzione ad esempio $f(x(t),y(t),z(t))$ si arriva all' espressione $$ con $X'$ le derivata delle funzioni $x(t),y(y),z(t)$ e$nabla f(x,y,z)$ il gradiente di tale funzione. Ora è corretto? In una situazione del genere facevo le derivate automaticamente in funzione di $t$ sostituendo alla funzione $f(x(t),y(t),z(t))$ la sua formulazione in funzione solo della $t$ appunto, senza sapere della formalizzazione di tale formula! Spero di essermi spiegato!

non si capisce molto. Ma ti hanno già risposto. La formula da applicare è quella che dice Raptorista, né più né meno. Riscriverla come hai fatto tu, con il \(\langle\ ,\ \rangle\), in questo caso non è errato ma io lo sconsiglio, ti porterà solo confusione.

[Raptorista1]

[Iris941]

In magic si può risorgere :3
io sono partito dalla dimostrazione di Tem nel caso vettoriale per poi applicarla anche al caso scalare detto da Raptorista però se non capisco quelle cose nei passaggi scritte sopra, la formula finale è come se uscisse magicamente xD
Infatti oltre alla derivata della funzione composta compare anche la somma di un termine che è la derivata della $f$ in funzione del tempo
Non so se mi sono spiegato bene ...cioè
oltre a
$\frac d {dt} f(x(t),y(t)) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac {dx} {dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac {dy}{dt}$
dovrebbe comparire anche il termine
$ \frac{\partial f}{\partial t}$

[Raptorista1]

La formula scritta da TeM esprime il resto tramite O-grande, non tramite o-piccolo. Sarebbe altrettanto giusto [più giusto] scrivere \(o(\delta)\).

Il resto sparisce quando passi al limite.

Non ho capito quale formula non ti torna. Se \(f\) dipende anche da \(t\) esplicitamente, allora nella derivata totale compare anche la derivata parziale rispetto a \(t\).

[Iris941]

Come mai il resto sparisce passando al limite ?
cioè essendo un o piccolo in due variabili non dovrebbe tendere sia $dt$ che $dx_i$ a zero per far sparire il resto ?
o sono fuori strada ?

Ti ringrazio per l'aiuto che mi stai fornendo.

[Raptorista1]

Se prendi per buono che \(\delta x = u \delta t\) allora vanno a zero insieme.

[Iris941]

Giustissimo.
Grazie mille