Derivata_ $senx+cosx$
Salve;
nella funzione $f(x)= 2senx+sen2x$ la derivata prima è $f^{\prime}(x) =2cosx+2cos2x=;$ fino a quì ho ben chiaro.
ci sono 2 passaggi, semplificatori che non ho ben chiari.... $2cosx+4cos^2x-2=$ poi vabè mette in evidenza e si ha $2(2cos^2x+cosx-1)$
ma a $4cos^2x-2$ ... come ci si arriva?
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thkx.
nella funzione $f(x)= 2senx+sen2x$ la derivata prima è $f^{\prime}(x) =2cosx+2cos2x=;$ fino a quì ho ben chiaro.
ci sono 2 passaggi, semplificatori che non ho ben chiari.... $2cosx+4cos^2x-2=$ poi vabè mette in evidenza e si ha $2(2cos^2x+cosx-1)$
ma a $4cos^2x-2$ ... come ci si arriva?
thkx.
Risposte
Ciao daniele,
Come ti è stato già suggerito, semplicemente al posto di $cos2x$ è stato messo $2cos^2x-1$; perché??
Bè si può dimostrare facilmente che,appunto, $cos2x = 2 cos^2x -1$.
Dimostriamolo:
$cos2x = cos(x+x) $
Sappiamo che: $cos (\alpha+\beta) =cos \alpha*cos\beta - sen\alpha*sen\beta $
Quindi:
$cos(x+x)= cosx*cosx - senxsenx = cos^2x - sen^2x$ (*)
Sappiamo, anche che $senx = sqrt(1-cos^2x)$, eleviamo ambo i membri al quadrato e abbiamo: $sen^2x = 1-cos^2x$
Prendiamo questo valore ottenuto di $sen^2x$ e andiamolo a mettere nella (*); otteniamo:
$cos^2x - sen^2x = cos^2x - (1-cos^2x) = 2 cos^2x -1$
Quindi abbiamo ottenuto che $cos2x = 2 cos^2x -1$.
__________
Andando al tuo esercizio.
Eri arrivato qui:
$f^{\prime}(x) =2cosx+2cos2x$
al posto di $cos2x$ mettiamo ciò che abbiamo trovato cioè: $2 cos^2x -1$:
$2cosx+2cos2x = 2cosx+2(2 cos^2x -1) = 2cosx+4cos^2x-2$.
Come ti è stato già suggerito, semplicemente al posto di $cos2x$ è stato messo $2cos^2x-1$; perché??
Bè si può dimostrare facilmente che,appunto, $cos2x = 2 cos^2x -1$.
Dimostriamolo:
$cos2x = cos(x+x) $
Sappiamo che: $cos (\alpha+\beta) =cos \alpha*cos\beta - sen\alpha*sen\beta $
Quindi:
$cos(x+x)= cosx*cosx - senxsenx = cos^2x - sen^2x$ (*)
Sappiamo, anche che $senx = sqrt(1-cos^2x)$, eleviamo ambo i membri al quadrato e abbiamo: $sen^2x = 1-cos^2x$
Prendiamo questo valore ottenuto di $sen^2x$ e andiamolo a mettere nella (*); otteniamo:
$cos^2x - sen^2x = cos^2x - (1-cos^2x) = 2 cos^2x -1$
Quindi abbiamo ottenuto che $cos2x = 2 cos^2x -1$.
__________
Andando al tuo esercizio.
Eri arrivato qui:
$f^{\prime}(x) =2cosx+2cos2x$
al posto di $cos2x$ mettiamo ciò che abbiamo trovato cioè: $2 cos^2x -1$:
$2cosx+2cos2x = 2cosx+2(2 cos^2x -1) = 2cosx+4cos^2x-2$.
"Gi8":.
Si usa la formula di duplicazione del coseno $cos2x=2cos^2x-1$
vero vero:
Mi ricordavo solo l'altra formula "equivalente" cioè a dire: $1-2sen^2a$
Ma... una domanda da neofita:
Si possono usare sempre e comunque tutte e due le forme indipendentemente dall'esercizio che si svolge...
o comunque c'è qualche "escamotage" da adottare...
in questo caso per esempio è opportuno usare questa, dato che nel primo membro della somma c'è il coseno, mentre se ci fosse stato il seno, avremmo adottato l'altra....
?
correggetemi se sbaglio
"Mathcrazy":
.
Scusate il doppio post.
Math, riguardo alla curiosità chiesta da me nel post precedente ??
"mat100":
Si possono usare sempre e comunque tutte e due le forme indipendentemente dall'esercizio che si svolge...
o comunque c'è qualche "escamotage" da adottare...
in questo caso per esempio è opportuno usare questa, dato che nel primo membro della somma c'è il coseno, mentre se ci fosse stato il seno, avremmo adottato l'altra....
?
correggetemi se sbaglio
Le formule le puoi usare indipendentemente... Usare qui il coseno è una questione di sola praticità. Se, ad esempio, ora volessi trovare i punti critici della funzione, avendo la derivata prima tutta in funzione di $cosx$ ti risulta immediato.
PS: ovviamente potevi arrivare a quest'altra forma del cos2x utilizzando l'identità $(cosx)^2 + (sinx)^2 = 1 $ in $cos2x = 1 - 2(sinx)^2$
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