Derivata seconda per concavità e convessità

[kkkcristo]

Ho un funzione $f(x)=sqrt(((x^3-1)/x)$. Ho già trovato dominio, asintoti, crescenza e decrescenza. Dovrei trovare le convessità e concavità e per questo devo trovare il segno della derivata seconda. La derivata prima è: $f(x)'=1/2*((x^3-1)/x)^(-1/2)*(2x^3+1)/x^2$

La derivata seconda sarà $f(x)''=(1/2*((x^3-1)/x)^(-1/2))^{\prime}*(2x^3+1)/x^2+((2x^3+1)/x^2)^{\prime}*((x^3-1)/x)^(-1/2)$ ora tralascio i conti perchè il mio problema è che sul libro dal qualse sto studiando la derivata seconda è questa : $f(x)''=(1/2*((x^3-1)/x)^(-1/2))^{\prime}*(2x^3+1)^2/x^2+((2x^3+1)/x^2)^{\prime}*((x^3-1)/x)^(-1/2)$ e non riesco proprio a spiegarmi per quale motivo ci sia quel $()^2$. Anche perchè se non lo metto la funzione dalla quale studiare il segno alla fine è di sesto grado. Potete aiutarmi? Grazie.

[ELWOOD1]

scusa la pigrizia.....ma usando derive la derivata seconda risulta $-\frac{\sqrt{x^3}+8}{4x^3}$....ed intuitivamente torna, perchè guardando il grafico con $x>0$ è sempre con la concavità rivolta verso il basso

[kkkcristo]

"ELWOOD":scusa la pigrizia.....ma usando derive la derivata seconda risulta $-\frac{\sqrt{x^3}+8}{4x^3}$....ed intuitivamente torna, perchè guardando il grafico con $x>0$ è sempre con la concavità rivolta verso il basso

Scusa ma non sono riuscito a fare una radice decente quindi forse ti ho fatto sbagliare. Nella funzione è tutto sotto radice. Infatti è convessa per x<0 e concava per x>1. Il mio problema è il procedimento che a quanto pare è errato.

[ELWOOD1]

Fino alla derivata prima ci sei.....ed è giusta.

Ora applica il teorema della derivata del prodotto, hai 2 funzioni: $f(x)=(\frac{x^3-1}{x})^{-1/2}$ e $g(x)=\frac{2x^3+1}{x^2}$

applicando $y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ottieni

$y'=-1/4 (\frac{x^3-1}{x})^{-3/2}\cdot (\frac{2x^3+1}{x^2})\cdot (\frac{2x^3+1}{x^2})+\frac{4x^4-1}{x^4}\cdot 1/2 (\frac{x^3-1}{x})^{-3/2}$

E' giusto dunque quel quadrato....quello che non capisco è perchè il testo metta il fattore $1/2$ all'interno della parentesi

[ELWOOD1]

EDIT: è giusto che lo metta fra parentesi...in quanto lascia tutto il termine sotto il segno di derivata....io invece l'ho esplicitata

[kkkcristo]

"ELWOOD":Fino alla derivata prima ci sei.....ed è giusta.

Ora applica il teorema della derivata del prodotto, hai 2 funzioni: $f(x)=(\frac{x^3-1}{x})^{-1/2}$ e $g(x)=\frac{2x^3+1}{x^2}$

applicando $y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ottieni

$y'=-1/4 (\frac{x^3-1}{x})^{-3/2}\cdot (\frac{2x^3+1}{x^2})\cdot (\frac{2x^3+1}{x^2})+\frac{4x^4-1}{x^4}\cdot 1/2 (\frac{x^3-1}{x})^{-3/2}$

E' giusto dunque quel quadrato....quello che non capisco è perchè il testo metta il fattore $1/2$ all'interno della parentesi

Awwww... ho capito il mio errore. Ho sbagliato a derivare f(x) nella derivata seconda, in pratica non ho fatto, la derivata dell'argomento della funzione che mi avrebbe dato il secondo $(2x^3-1)/x^2$

Ho un'ultima domanda ora. La derivata seconda, ora, risulta: $sqrt(x/(x^3-1))*(-12x^3+3)/(4x^3(x^3-1))$. Il testo dice che il segno di $f''(x)$ è uguale al segno di $-12x^3+3$. Ma non spiega il motivo, è perchè $sqrt(x/(x^3-1))*1/(4x^3(x^3-1))*(-12x^3+3)$ è uguale a $sqrt(x/(x^3-1))*(-12x^3+3)/(4x^3(x^3-1))$? Questo vale per qualsiasi funzione? Grazie.

[ELWOOD1]

No, non vale per qualsiasi funzione.....per questa ad esempio è vero solo per $x>1$