Derivata seconda mista

[ale9861]

Come si esegue una derivata seconda mista per una funzione a due variabili?

[laura.todisco]

Primi derivi rispetto ad x e quello che ottieni lo derivi rispetto ad y.

[ale9861]

Grazie mille!

[Maxos2]

Altolà! Non tutte le funzioni soddisfano la condizione di Schwartz per cui l'ordine di derivazione è indifferente, dunque attenzione.

[Camillo]

Più precisamente per una funzione di due variabili $ z = f(x,y) $ se le due derivate seconde miste sono continue nel punto $(x,y)$ allora sono ivi uguali .(Teorema di Schwarz).
Più in generale , se le derivate di ordine n di una funzione di due variabili sono continue in un campo A, esse si riducono a n+1 distinte .
Ad esempio delle otto derivate terze solo quattro (=3+1) risultano distinte: $(del^3z)/(delx^3) ; (del^3z)/(delx^2dely) ; (del^3z)/(delxdely^2);(del^3z)/(dely^3)$.

[davipo1]

Ciao, potreste darmi, per cortesia, una mano con questa derivata?

2senxcosx-1>0

Grazie mille

[Sk_Anonymous]

caro davipo
forse sei un pochino O.T. ma se si tratta di darti una mano nessuno si tira indietro...

Allora la tua più che una derivata ha l'aria di essere una disequazione nell'incognita $x$ che può anche essere scritta così...

$2*sin x*cos x>1$ (1)

Ehm!... così com'è è un poco ardua, ma se mi consenti di trasformarla in questa...

$|2*sin x*cos x|>1$ (2)

... si può cercare di fare qualcosa... magari prima che quelli della 'congrega di zitelle petulanti' se ne tornano da Firenze...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[laura.todisco]

La disequazione $2sinxcosx-1>0$
diventa (usando la formula di duplicazione del seno):
$sin(2x)>1$
che è ovviamente mai soddisfatta.
Ma non capisco che c'entra la derivata........... boh!
Chissà se le comari sono tornate da Firenze ehehehe

[laura.todisco]

O forse doveva studiare la crescenza di una funzione e quella era già la derivata..........

[Maxos2]

è quello che penso, doveva studiare $sin^2(x)$ o analoga

[Sk_Anonymous]

"laura.todisco":La disequazione $2sinxcosx-1>0$
diventa (usando la formula di duplicazione del seno):
$sin(2x)>1$
che è ovviamente mai soddisfatta.
Ma non capisco che c'entra la derivata........... boh!
Chissà se le comari sono tornate da Firenze ehehehe

Se per semplicità poniamo $z=2x$, la disequazione …

$sin z>1$ (1)

… effettivamente non ammette soluzioni. Per divertirci un poco proviamo a cercare [nel piano complesso…] i valori di $z$ che soddisfano la disequazione…

$|sin z|>1$ (2)

Ponendo $z=x+j*y$ nell’identità $sin z= -j*sinh(jz)$ otteniamo…

$sin (x+j*y)= -j*sinh(-y+j*x)=$

$=-j*(-sinh y*cos x+j*cosh y*sin x)= sin x*cosh y + j*cos x*sinh y$ (3)

Sostituendo nella (2) si ottiene la disequazione…

$sin^2 x*cosh^2 y+cos^2 x*sinh^2 y>1$ (4)

Sfruttando le due ‘relazioni gemelle’ delle funzioni trigonometriche e iperboliche…

$cos^2 x= 1-sin^2 x$

$cosh^2 x=1+sinh^2 x$ (5)

… si arriva a determinare la seguente disequazione equivalente alla (2)…

$sinh^2 y>cos^2 x$ (6)

… la quale è soddisfatta per…

$|y|> sinh^(-1) (|cos x|)$ (7)

I punti del piano complesso che soddisfano la (7) sono segnati in rosso nella figura in basso… immaginando ovviamente di estendere la cosa sull'intero piano...



Cara Laura… diciamo che ci siamo un poco divertiti aspettando il ritorno delle zitelle petulanti …

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[davipo1]

grazie a tutti.
ciao, ciao