Derivata seconda generica di una funzione del tipo $f(g(t),h(t))$?

[fra9961]

Come si ricava la formula generica della derivata seconda di una funzione del tipo $f(g(t),h(t))$?

[gugo82]

Facendo i calcoli...

Teorema di derivazione della funzione composta (due volte) e via.
Poi, casomai, ti aggiusti le cose sfruttando vettori gradienti, matrici hessiane, prodotti scalari, etc...

[Lebesgue]

Utilizzando la chain rule: essendo la funzione f in due variabili si ha:

$\varphi(t)=f(g(t),h(t))\Rightarrow \varphi'(t)=f_x\cdot g'(t)+f_y\cdot h'(t)$

Nel fare la derivata seconda devo riderivare (usando la chain rule) $f_x \mbox{ e } f_y$.

Poniamo: $\gamma(t)=f_x(g(t),h(t)) \Rightarrow \gamma'(t)=f_(x x)\cdotg'(t)+f_(xy)\cdoth'(t)$

e $\psi(t)=f_y(g(t),h(t)) \Rightarrow \psi'(t)=f_(yx)\cdotg'(t)+f_(yy)\cdoth'(t)$

Andando a sostituire ed usando la regola di derivazione del prodotto si ha:

$\varphi''(t)=[f_(x x)\cdot g'(t)+f_{xy}\cdoth'(t)]\cdot g'(t)+f_x\cdotg''(t)+[f_(yx)\cdotg'(t)+f_(yy)\cdoth'(t)]\cdoth'(t)+f_y\cdoth''(t)$

Dove con le notazioni solite abbiamo posto (sopra per comodità ho ogni volta omesso che f dipende da g e h) :

$f_x={\partialf} /(\partial x)(g(t),h(t))$
$f_y={\partialf}/(\partial y) (g(t),h(t))$
$f_(x x)={\partial^2f} /(\partialx^2)(g(t),h(t))$
$f_(yy)={\partial^2f} /(\partialy^2)(g(t),h(t))$
$f_(xy)={\partial^2f} /(\partial x\partialy)(g(t),h(t))$
$f_(yx)={\partial^2f} /(\partialy\partial x)(g(t),h(t))$