Derivata seconda di funzione inversa

[cozzataddeo]

Mi sono inceppato nel calcolo formale della derivata seconda di una funzione composta.
Prendiamo una curva piana derivabile infinite volte

$p(t)=(x(t),y(t))$

parametrizzata mediante il parametro $t$.

Se ora la riparametrizzo utilizzando l'ascissa curvilinea $s=s(t)$ ottengo

$p(t(s))=(x(t(s)),y(t(s)))$

dove la funzione $t(s)$ è l'inversa dell'ascissa curvilinea.
Derivando la prima componente rispetto a $s$ ottengo, utilizzando il teorema di derivazione delle funzioni composte e il teorema che dice che la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione diretta (mi rendo conto che sto dando enunciazioni ingegneresche dei teoremi ma portate pazienza...)

$(dx)/(ds)=(dx)/(dt)*(dt)/(ds)=dx/dt*1/((ds)/(dt))$

Se ora passo alla derivata seconda ecco che mi inceppo perché risulta

$(d^2x)/(ds^2)=d/(ds)((dx)/(dt)*(dt)/(ds))=d/(ds)(dx/(dt))*(dt)/(ds) + (dx)/(dt)*(d^2t)/(ds^2)=(d^2x)/(dt^2)*((dt)/(ds))^2+(dx)/(dt)*(d^2t)/(ds^2)=(d^2x)/(dt^2)*1/(((ds)/(dt))^2)+(dx)/(dt)*(d^2t)/(ds^2)$

Il problema è che io ho un'espressione analitica per $s=s(t)$ ma non per $t=t(s)$ quindi, volendo calcolarmi $x''(s)$ per punti, non so come esprimere il fattore $(d^2t)/(ds^2)$

Ho provato anche a scrivere

$(d^2t)/(ds^2)=d/(ds)((dt)/(ds))=d/(ds)(1/((ds)/(dt)))$

ma poi non so come procedere.
Qualcuno ha qualche suggerimento?

[cozzataddeo]

Forse mi sono risposto da solo (spero correttamente).
Posso scrivere
$(d^2t)/(ds^2)=d/(ds)(1/((ds)/(dt)))=d/(dt)(1/((ds)/(dt)))*((dt)/(ds))=(-(d^2s)/(dt^2))/((ds)/(dt))^2*1/((ds)/(dt))= -(d^2s)/(dt^2)*1/((ds)/(dt))^3$
da cui ricavo
$(d^2x)/(ds^2) = (d^2x)/(dt^2)*1/((ds)/(dt))^2-(dx)/(dt)*(d^2s)/(dt^2)*1/((ds)/(dt))^3$
Vi sembra corretto il ragionamento?

[gugo82]

Ad occhio direi di sì... prova con una parametrizzazione semplice, tipo $(cos t^5,sin t^5)$ che con la sostituzione $s=t^5$ diventa una r.p. in ascissa curvilinea.

[cozzataddeo]

Fatto!
Sembra funzionare.
Grazie per il controllo e il suggerimento Gugo82!