Derivata seconda della delta di dirac
ragazzi cercando di fare la derivata distribuzionale seconda del seguente segnale e cioè cercando di calcolare:
$ D^2 [P_4 (t / 2-1) ] $
Dove P4 è la porta di ampiezza 4. mi viene un dubbio atroce subito dopo la derivata prima che mi risulta essere:
$ D^1 [P_4 (t / 2-1) ] = delta (t / 2+1)- delta (t / 2-3)$
a questo punto dovrei calcolare la derivata seconda dovrei calcolare le derivate delle $delta$ , la mia domanda è: le derivate delle due $ delta$ non sono nulle?
e quindi il risultato finale sarebbe zero.
$ D^2 [P_4 (t / 2-1) ] $
Dove P4 è la porta di ampiezza 4. mi viene un dubbio atroce subito dopo la derivata prima che mi risulta essere:
$ D^1 [P_4 (t / 2-1) ] = delta (t / 2+1)- delta (t / 2-3)$
a questo punto dovrei calcolare la derivata seconda dovrei calcolare le derivate delle $delta$ , la mia domanda è: le derivate delle due $ delta$ non sono nulle?
e quindi il risultato finale sarebbe zero.
Risposte
La derivata distribuzionale della [tex]$\delta$[/tex] non è nulla.
Per provarlo, usiamo la definizione: prendiamo una funzione test $[tex]\varphi$[/tex] e scriviamo:
[tex]$\langle \text{D}\delta ,\varphi \rangle =-\langle \delta ,\varphi^\prime \rangle =-\varphi^\prime (0)$[/tex]
sicché [tex]$\text{D} \delta$[/tex] non è la distribuzione nulla.
Ovviamente [tex]$\text{D}\delta$[/tex] è qualcosa di non intuitivamente rappresentabile con facilità; di solito gli ingegneri usano come simbolo di [tex]$\text{D}\delta$[/tex] una freccia (come quella usata per la [tex]$\delta$[/tex]) con uno zig-zag a metà dell'asticella.
Per provarlo, usiamo la definizione: prendiamo una funzione test $[tex]\varphi$[/tex] e scriviamo:
[tex]$\langle \text{D}\delta ,\varphi \rangle =-\langle \delta ,\varphi^\prime \rangle =-\varphi^\prime (0)$[/tex]
sicché [tex]$\text{D} \delta$[/tex] non è la distribuzione nulla.
Ovviamente [tex]$\text{D}\delta$[/tex] è qualcosa di non intuitivamente rappresentabile con facilità; di solito gli ingegneri usano come simbolo di [tex]$\text{D}\delta$[/tex] una freccia (come quella usata per la [tex]$\delta$[/tex]) con uno zig-zag a metà dell'asticella.
Consideriamo il primo membro della derivata prima:
$ delta ( t/2 +1) $
questa non può essere vista come :
$ (: Ddelta,1 :) $ ?
e dunque essendo la derivata prima di 1 nulla si avrebbe:
$ delta ( t/2 +1) = 0 $
$ delta ( t/2 +1) $
questa non può essere vista come :
$ (: Ddelta,1 :) $ ?
e dunque essendo la derivata prima di 1 nulla si avrebbe:
$ delta ( t/2 +1) = 0 $
No.
Per definizione la derivata di una distribuzione [tex]$F$[/tex] è quella distribuzione [tex]$G$[/tex] tale che per ogni test [tex]$\varphi \in C_c^\infty$[/tex] risulta:
[tex]$\langle G,\varphi \rangle =-\langle F,\varphi^\prime \rangle$[/tex];
la derivata si denota con [tex]$\text{D} F$[/tex], sicché la precedente si riscrive:
[tex]$\langle \text{D} F,\varphi \rangle =-\langle F,\varphi^\prime \rangle$[/tex].
Quindi, per sapere "come funziona" [tex]$\text{D} \delta$[/tex] devi sapere come essa si comporta su tutti i test (non solo su qualcuno).
Inoltre, ricorda che la funzione [tex]$1$[/tex] non è una funzione test, perchè essa non ha supporto compatto.
Per definizione la derivata di una distribuzione [tex]$F$[/tex] è quella distribuzione [tex]$G$[/tex] tale che per ogni test [tex]$\varphi \in C_c^\infty$[/tex] risulta:
[tex]$\langle G,\varphi \rangle =-\langle F,\varphi^\prime \rangle$[/tex];
la derivata si denota con [tex]$\text{D} F$[/tex], sicché la precedente si riscrive:
[tex]$\langle \text{D} F,\varphi \rangle =-\langle F,\varphi^\prime \rangle$[/tex].
Quindi, per sapere "come funziona" [tex]$\text{D} \delta$[/tex] devi sapere come essa si comporta su tutti i test (non solo su qualcuno).
Inoltre, ricorda che la funzione [tex]$1$[/tex] non è una funzione test, perchè essa non ha supporto compatto.
Quindi il risultato andrebbe indicato semplicemente così:
$ delta'(t/2+1) -delta'(t/2-3 ) $
o sbaglio ?
$ delta'(t/2+1) -delta'(t/2-3 ) $
o sbaglio ?
Prima di conferme/smentite, mi chiarisci com'è definito [tex]$P_4(\tfrac{t}{2} -1)$[/tex]: in particolare, chi sono il centro, l'ampiezza e l'altezza della porta?
Il segnale $ P_T (t- t_0) $ ha:
altezza $ 1 $
centro $ t_0 $
ampiezza $ T $
altezza $ 1 $
centro $ t_0 $
ampiezza $ T $
"ack6":
Il segnale $ P_T (t- t_0) $ ha:
altezza $ 1 $
centro $ t_0 $
ampiezza $ T $
Quindi è qualcosa del tipo [tex]$P_T (t-t_0)=\text{u} (t-(t_0-\tfrac{T}{2})) -\text{u} (t-(t_0+\tfrac{T}{2}))$[/tex] con:
[tex]$\text{u}(t)=\begin{cases} 0 &\text{, se $t<0$}\\ 1 &\text{, se $t\geq 0$}\end{cases}$[/tex]
gradino unitario?
In tal caso:
[tex]$\text{D} P_T (t-t_0) =\delta (t-(t_0-\tfrac{T}{2})) -\delta (t-(t_0+\tfrac{T}{2}))$[/tex]
[tex]$\text{D}^2 P_T (t-t_0) =\delta^\prime (t-(t_0-\tfrac{T}{2})) -\delta^\prime (t-(t_0+\tfrac{T}{2}))$[/tex]
se non mi inganno.
Però tieni presente che hai anche un [tex]$\tfrac{1}{2}$[/tex] dentro l'argomento... Che però non capisco a cosa ti serva.
E' tutto corretto, ora ho capito, ti ringrazio molto mi sei stato di grande aiuto.
seguendo la vostra discussione mi è sorto un dubbio. Sul libro di metodi (Codegone) c'e' scritto che
$ x(t)*delta'(t) = x(0)*delta'(t) - x'(0)*delta(t) $ dove x(t) è una test-funzione
che mi sembra un po discordante con la definizione data:
ovvero che
$ x(t)*delta'(t) = -x'(0) $
da dove esce quella formula ??
l' ho vista anche da altre parti ... ma non mi chiedo come possa derivare dalla definizione ..
Un saluto
$ x(t)*delta'(t) = x(0)*delta'(t) - x'(0)*delta(t) $ dove x(t) è una test-funzione
che mi sembra un po discordante con la definizione data:
ovvero che
$ x(t)*delta'(t) = -x'(0) $
da dove esce quella formula ??
l' ho vista anche da altre parti ... ma non mi chiedo come possa derivare dalla definizione ..
Un saluto
Occhio, che è una cosa diversa.
Qui hai la distribuzione prodotto [tex]$x(t)\ \delta^\prime (t)$[/tex]* e vuoi sapere come esprimerla in maniera meno compatta.
Infatti, prendi un test [tex]$\varphi \in C_c^\infty$[/tex] e hai:
[tex]$\langle x\ \delta^\prime , \varphi \rangle =\langle \delta^\prime ,x\ \varphi \rangle \quad$[/tex] (definizione del prodotto tra una distribuzione ed una funzione regolare)
[tex]$=-\langle \delta ,(x\ \varphi)^\prime \rangle \quad$[/tex] (definizione di derivata distribuzionale)
[tex]$=-\langle \delta, x^\prime\ \varphi +x\ \varphi^\prime \rangle \quad$[/tex] (usuale derivata del prodotto di funzioni regolari)
[tex]$=-\langle \delta, x^\prime\ \varphi \rangle -\langle \delta, x\ \varphi^\prime \rangle \quad$[/tex] (linearità di [tex]$\delta$[/tex])
[tex]$=-x^\prime (0)\ \varphi (0) -x(0)\ \varphi^\prime (0) \quad$[/tex] (definizione di [tex]$\delta$[/tex])
[tex]$=-x^\prime (0)\ \langle \delta, \varphi \rangle -x(0)\ \langle \delta ,\varphi^\prime \rangle \quad$[/tex] (definizione di [tex]$\delta$[/tex] al contrario)
[tex]$= -x^\prime (0)\ \langle \delta, \varphi \rangle +x(0)\ \langle \delta^\prime ,\varphi \rangle \quad$[/tex] (definizione di derivata distribuzionale al contrario)
[tex]$=\langle x(0)\ \delta^\prime -x^\prime (0)\ \delta, \varphi \rangle \quad$[/tex] (linearità al contrario)
da cui:
[tex]$x(t)\ \delta^\prime (t) =x(0)\ \delta^\prime (t) -x^\prime (0)\ \delta (t)$[/tex]
che è la formula del Codegone (testo troppo ingegneristico, secondo me...).
__________
* Fissata una distribuzione [tex]$F\in \mathcal{D}^\prime$[/tex] ed una funzione [tex]$x\in C^\infty$[/tex] (N.B.: [tex]$x$[/tex] non è tenuta ad avere supporto compatto, quindi può anche non essere una funzione test), la distribuzione prodotto della distribuzione [tex]$F$[/tex] e della funzione regolare [tex]$x$[/tex] è quella denotata con [tex]$x\ F$[/tex] e definita ponendo:
[tex]$\forall \varphi \in C_c^\infty,\quad \langle x\ F,\varphi \rangle :=\langle F, x\ \varphi \rangle$[/tex];
nota che [tex]$\text{$x\in C^\infty$ e $\varphi \in C_c^\infty$}\ \Rightarrow\ x\ \varphi \in C_c^\infty$[/tex], sicché [tex]$x\ \varphi$[/tex] è una funzione test e la precedente definizione ha senso.
Qui hai la distribuzione prodotto [tex]$x(t)\ \delta^\prime (t)$[/tex]* e vuoi sapere come esprimerla in maniera meno compatta.
Infatti, prendi un test [tex]$\varphi \in C_c^\infty$[/tex] e hai:
[tex]$\langle x\ \delta^\prime , \varphi \rangle =\langle \delta^\prime ,x\ \varphi \rangle \quad$[/tex] (definizione del prodotto tra una distribuzione ed una funzione regolare)
[tex]$=-\langle \delta ,(x\ \varphi)^\prime \rangle \quad$[/tex] (definizione di derivata distribuzionale)
[tex]$=-\langle \delta, x^\prime\ \varphi +x\ \varphi^\prime \rangle \quad$[/tex] (usuale derivata del prodotto di funzioni regolari)
[tex]$=-\langle \delta, x^\prime\ \varphi \rangle -\langle \delta, x\ \varphi^\prime \rangle \quad$[/tex] (linearità di [tex]$\delta$[/tex])
[tex]$=-x^\prime (0)\ \varphi (0) -x(0)\ \varphi^\prime (0) \quad$[/tex] (definizione di [tex]$\delta$[/tex])
[tex]$=-x^\prime (0)\ \langle \delta, \varphi \rangle -x(0)\ \langle \delta ,\varphi^\prime \rangle \quad$[/tex] (definizione di [tex]$\delta$[/tex] al contrario)
[tex]$= -x^\prime (0)\ \langle \delta, \varphi \rangle +x(0)\ \langle \delta^\prime ,\varphi \rangle \quad$[/tex] (definizione di derivata distribuzionale al contrario)
[tex]$=\langle x(0)\ \delta^\prime -x^\prime (0)\ \delta, \varphi \rangle \quad$[/tex] (linearità al contrario)
da cui:
[tex]$x(t)\ \delta^\prime (t) =x(0)\ \delta^\prime (t) -x^\prime (0)\ \delta (t)$[/tex]
che è la formula del Codegone (testo troppo ingegneristico, secondo me...).
__________
* Fissata una distribuzione [tex]$F\in \mathcal{D}^\prime$[/tex] ed una funzione [tex]$x\in C^\infty$[/tex] (N.B.: [tex]$x$[/tex] non è tenuta ad avere supporto compatto, quindi può anche non essere una funzione test), la distribuzione prodotto della distribuzione [tex]$F$[/tex] e della funzione regolare [tex]$x$[/tex] è quella denotata con [tex]$x\ F$[/tex] e definita ponendo:
[tex]$\forall \varphi \in C_c^\infty,\quad \langle x\ F,\varphi \rangle :=\langle F, x\ \varphi \rangle$[/tex];
nota che [tex]$\text{$x\in C^\infty$ e $\varphi \in C_c^\infty$}\ \Rightarrow\ x\ \varphi \in C_c^\infty$[/tex], sicché [tex]$x\ \varphi$[/tex] è una funzione test e la precedente definizione ha senso.
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