Derivata seconda con valore assoluto

[stefanofet]

$f(x)=log(abs((1+x^2)/(1-x^2)))$
$f'(x)=(2*x*(1+x^2))/((1-x^2)*(abs((1+x^2)/(1-x^2)))^2)$

sono riuscito a calcolare la derivata prima ma non la derivata seconda, mi date qualche consiglio? o mi fate vedere come si fa?
ho fatto 2 pagine di calcoli ma il risultato non riesco a semplificarlo, in quanto dopo dovrei vederne la positività in quanto si tratta di uno studio di funzione

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[_nicola de rosa]

"stefanofet":$f(x)=log(abs((1+x^2)/(1-x^2)))$
$f'(x)=(2*x*(1+x^2))/((1-x^2)*(abs((1+x^2)/(1-x^2)))^2)$

sono riuscito a calcolare la derivata prima ma non la derivata seconda, mi date qualche consiglio? o mi fate vedere come si fa?
ho fatto 2 pagine di calcoli ma il risultato non riesco a semplificarlo, in quanto dopo dovrei vederne la positività in quanto si tratta di uno studio di funzione

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Se $|x|<1$ cioè $-1 se $x<-1$ U $x>1$ allora $y=log((1+x^2)/(-1+x^2))$ per cui $y'=(4x)/(1-x^4)$, come la precedente.
Potevamo fare prima, senza separare i due casi, osservando che se $y=ln|f(x)|$ allora $y'=(f'(x))/(f(x))$ sempre indipendentemente dal segno di $f(x)$. Quindi
$y'=(4x)/(1-x^4) AAx in RR-{+-1}$
Ora $y''=(4(1+3x^4))/(1-x^4)^2$
Noterai ora che
$y'=(4x)/(1-x^4)>0$ in $(-infty,-1)$ U$(0,1)$, mentre $y'=(4x)/(1-x^4)<0$ in $(-1,0)$ U $(1,+infty)$. Quindi $y$ è crescente in $(-infty,-1)$ U$(0,1)$ e decrescente in $(-1,0)$ U $(1,+infty)$. Per cui $y=f(x)$ presenta in $(0,0)$ un minimo relativo.
Lo studio della derivata seconda ci dice che non ci sono flessi

[stefanofet]

"nicasamarciano":[quote="stefanofet"]$f(x)=log(abs((1+x^2)/(1-x^2)))$
$f'(x)=(2*x*(1+x^2))/((1-x^2)*(abs((1+x^2)/(1-x^2)))^2)$

sono riuscito a calcolare la derivata prima ma non la derivata seconda, mi date qualche consiglio? o mi fate vedere come si fa?
ho fatto 2 pagine di calcoli ma il risultato non riesco a semplificarlo, in quanto dopo dovrei vederne la positività in quanto si tratta di uno studio di funzione

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Se $|x|<1$ cioè $-1 se $x<-1$ U $x>1$ allora $y=log((1+x^2)/(-1+x^2))$ per cui $y'=(4x)/(1-x^4)$, come la precedente.
Potevamo fare prima, senza separare i due casi, osservando che se $y=ln|f(x)|$ allora $y'=(f'(x))/(f(x))$ sempre indipendentemente dal segno di $f(x)$. Quindi
$y'=(4x)/(1-x^4) AAx in RR-{+-1}$
Ora $y''=(4(1+3x^4))/(1-x^4)^2$
Noterai ora che
$y'=(4x)/(1-x^4)>0$ in $(-infty,-1)$ U$(0,1)$, mentre $y'=(4x)/(1-x^4)<0$ in $(-1,0)$ U $(1,+infty)$. Quindi $y$ è crescente in $(-infty,-1)$ U$(0,1)$ e decrescente in $(-1,0)$ U $(1,+infty)$. Per cui $y=f(x)$ presenta in $(0,0)$ un minimo relativo.
Lo studio della derivata seconda ci dice che non ci sono flessi[/quote]

adesso si che descrive bene il grafico, grazie
non consideravo il metodo di trattare i casi separatamente