Derivata ricorsiva
Il calcolo non mi torna.
Ho una funzione $(1+x^2)$ elevata a se stessa.
Devo calcolarne la derivata di y rispetto a x.
Il mio prof. utilizza il trucco di nepero ed il risultato è il seguente :
$2*x*(1+x^2)^(1+x^2)*(ln(1+x^2)+1)$
Avevo pensato di risolverlo mediante sostituzione ponendo
$1+x^2=t$, cosi da ottenere
$y=t*(t)^(t-1)*dt$
Il risultato è nettamente diverso, e ciò che maggiormente non mi spiego è come si ottenga nel calcolo della derivata un logaritmo naturale partendo da una funzione del tipo $a^x$.
Inoltre $dt$ come andrebbe esplicitato?
Qualcuno può aiutarmi?
Ho una funzione $(1+x^2)$ elevata a se stessa.
Devo calcolarne la derivata di y rispetto a x.
Il mio prof. utilizza il trucco di nepero ed il risultato è il seguente :
$2*x*(1+x^2)^(1+x^2)*(ln(1+x^2)+1)$
Avevo pensato di risolverlo mediante sostituzione ponendo
$1+x^2=t$, cosi da ottenere
$y=t*(t)^(t-1)*dt$
Il risultato è nettamente diverso, e ciò che maggiormente non mi spiego è come si ottenga nel calcolo della derivata un logaritmo naturale partendo da una funzione del tipo $a^x$.
Inoltre $dt$ come andrebbe esplicitato?
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
"mathicale":
Il calcolo non mi torna.
Ho la funzione $(1+x^2)^(1+x^2)$.
Devo calcolarne la derivata rispetto a x.
Il mio prof. utilizza il trucco di nepero ed il risultato è il seguente :
$2*x*(1+x^2)^(1+x^2)*(ln(1+x^2)+1)$
Avevo pensato di risolverlo mediante sostituzione ponendo
$1+x^2=t$, cosi da ottenere
$y=t*(t)^(t-1)*dt$
Il risultato è nettamente diverso, e ciò che maggiormente non mi spiego è come si ottenga nel calcolo della derivata un logaritmo naturale partendo da una funzione del tipo $a^x$.
Inoltre $dt$ come andrebbe esplicitato?
Qualcuno può aiutarmi?
Il "trucco di Nepero" (che scommetto stia nell'identità $(1+x^2)^(1+x^2)="e"^((1+x^2)ln(1+x^2))$) è il modo per ottenere il risultato corretto.
In ogni caso, visto che $t=1+x^2$, puoi scrivere $"d"t=2x" d"x$. Ma ovviamente il risultato non torna usando la tua formula, perchè manchi un pezzo: quello che viene dal logaritmo, appunto.
"Gugo82":
[quote="mathicale"]Il calcolo non mi torna.
Ho la funzione $(1+x^2)^(1+x^2)$.
Devo calcolarne la derivata rispetto a x.
Il mio prof. utilizza il trucco di nepero ed il risultato è il seguente :
$2*x*(1+x^2)^(1+x^2)*(ln(1+x^2)+1)$
Avevo pensato di risolverlo mediante sostituzione ponendo
$1+x^2=t$, cosi da ottenere
$y=t*(t)^(t-1)*dt$
Il risultato è nettamente diverso, e ciò che maggiormente non mi spiego è come si ottenga nel calcolo della derivata un logaritmo naturale partendo da una funzione del tipo $a^x$.
Inoltre $dt$ come andrebbe esplicitato?
Qualcuno può aiutarmi?
Il "trucco di Nepero" (che scommetto stia nell'identità $(1+x^2)^(1+x^2)="e"^((1+x^2)ln(1+x^2))$) è il modo per ottenere il risultato corretto.
In ogni caso, visto che $t=1+x^2$, puoi scrivere $"d"t=2x" d"x$. Ma ovviamente il risultato non torna usando la tua formula, perchè manchi un pezzo: quello che viene dal logaritmo, appunto.[/quote]
Il trucco di Nepero del mio prof . è
$ 1 + x^2 = e ^ ln(1+x^2 )$
per cui la funzione su cui calcolare la derivata di y rispetto a x è :
$ y = e^ln(1+x^2) ^ (1+x^2) $
Appunto puoi spiegarmi il pezzo che manca proveniente dal logaritmo?
Ovvero se derivo la funzione originale
$(1+x^2)^(1+x^2)$
come fosse una funzione $x^n$ (anche se in questo caso è piu' corretto scrivere$y=x^x$ non ricavo dei logaritmi all'interno del risultato.
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