Derivata - punto di non derivabilità

[AnalisiZero]

Ciao,

Ho da fare la derivata di :
$f(x)=x*e^(x/(1-|x|))$

Ho ottenuto :

$f'(x)=e^(x/(1-|x|))+x(e^(x/(1-|x|))*((1-|x|+x*(|x|/x))/(1-|x|)^2))$.
Ora, se è giusta:
Il punto è che sembra che si possa semplificare una $x$ al denominatore, però non facendolo $x=0$ risulterebbe punto di non derivabilità perché non esisterebbe quella frazione, altrimenti no. Come bisogna fare?

Grazie.

[Plepp]

"AnalisiZero":sembra che si possa semplificare una $x$ al denominatore, però non facendolo $x=0$ risulterebbe punto di non derivabilità perché non esisterebbe quella frazione, altrimenti no.

Hai assunto che $x\ne 0$ già prima di calcolare quella derivata usando le varie regole di derivazione (che hai potuto tranquillamente applicare perché, per $x\ne 0$, tutte le funzioni che compaiono - valore assoluto incluso - sono derivabili).

Per $x=0$ invece devi usare la definizione:
\[f'(0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}e^{\frac{h}{1-|h|}}=1\]

[AnalisiZero]

"Plepp":[quote="AnalisiZero"]sembra che si possa semplificare una $x$ al denominatore, però non facendolo $x=0$ risulterebbe punto di non derivabilità perché non esisterebbe quella frazione, altrimenti no.

Hai assunto che $x\ne 0$ già prima di calcolare quella derivata usando le varie regole di derivazione (che hai potuto tranquillamente applicare perché, per $x\ne 0$, tutte le funzioni che compaiono - valore assoluto incluso - sono derivabili).

Per $x=0$ invece devi usare la definizione:
\[f'(0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}e^{\frac{h}{1-|h|}}=1\][/quote]
Credo di aver capito.
Per cui $x=0$ risulta un punto di non derivabilità anche se lo semplifico nell' espressione della derivata giusto?