Derivata prima (in 0) di uno sviluppo in serie di una serie di funzione analitica con MacLaurin

[phigreco1]

Una volta calcolato lo sviluppo riesco a calcolare le derivate di qualsiasi ordine ma la derivata prima no!
Ad esempio:

[*:3qyg75dd]$f(x)=\sum_0^(oo) (-1)^k/k (4/3)^k x^(2k)$
$f^(28)(0)=a_28*28! => k=14 =>f^(28)(0)=1/(14!) 4^14/3^14 28!$
Se faccio il ragionamento analogo per:
$f'(0)=a_1*1! => k=1/2$ e tutto il ragionamento non va a buon fine perché il risultato finale deve essere $-1$
[/*:m:3qyg75dd]
[*:3qyg75dd]$f(x)=\sum_0^(oo) (-1)^(k+1)/(k!) x^(2k+2)$
Si ha:
$f^(28)(0)=a_28*28! => k=13 =>f^(28)(0)=(-1)^14/(13!) 28!$
$f'(0)=a_1*1! =0$ ma perché $0$? [/*:m:3qyg75dd][/list:u:3qyg75dd]

[donald_zeka]

K non può assumere valori non interi, quindi tutte le derivate di ordine dispari sono nulle.

[phigreco1]

E nel primo caso?

[donald_zeka]

Pure la prima

[phigreco1]

No, nel primo caso si ha:
$f'(0)=-1$ ma non capisco perché...

[phigreco1]

Come non detto, lo svolgimento degli appunti è parzialmente errato e contrastante con la soluzione. Hai pienamente ragione. Grazie mille, mi sei stato molto utile.