Derivata prima e crescenza

[bravapersona1]

Ciao ragazzi scusate l'ennesima domanda ma il 20 ho l'esame di Analisi e ho appena scoperto che il prof non fa più ricevimento.
Veniamo a noi:
Supponiamo di avere una funzione continua in [a,b] e derivabile nello stesso intervallo aperto.
Ora:
1)se f'(x) >0 allora per la permanenza del segno di ha che $ (f(c)-f(x))/(c-x)>0 $ e questo accade per ogni c appartenente ad un certo intorno di x. E su questo sono d'accordo.
2)se f'(x)=0 sono possibili diverse eventualità :
-x è un estremo locale di f. (Sono d'accordo)
-f è strettamente crescente o decrescente in x. Bene questo è il mio dubbio. La funzione certo potrebbe essere crescente o decrescente ma perchè strettamente?

[anto_zoolander]

Ciao

Intanto organizziamo un po' le cose, perché è un po' 'alla buona'.

sia $f:X->RR$ e sia $x_0inX$ tale che $f$ sia derivabile in $x_0$. Se $f'(x_0)>0$ allora $f$ è crescente in $x_0$

si può partire dunque da $f'(x_0)=lim_(xi->x_0)(f(xi)-f(x_0))/(xi-x_0)>0$

dunque per il teorema della permanenza del segno dovrà esistere un intorno di $x_0$ in cui la funzione assume lo stesso segno del limite.

$(f(xi)-f(x_0))/(xi-x_0)>0,forallxiinI(x_0)$

che è quanto hai detto, ora però bisogna dire che questo è vero se e solo se numeratore e denominatore sono concordi.

${(forallxiinI^(+)(x_0):xi>x_0 => f(xi)>f(x_0)),(forallxiinI^(-)(x_0):xi f(xi)

sia $f:(a,b)->RR$ una funzione e sia $x_0in(a,b)$ un punto di estremo locale di $f$. Se $f$ è derivabile in $x_0$ allora $f'(x_0)=0$

Nota che l'annullarsi della derivata prima è condizione necessaria. Ovvero è buono che si annulla la derivata? allora potrebbe essere che ci sia un punto di estremo relativo.
Un classico esempio è $f(x)=x^3$ in $x=0$ si annulla la derivata prima, ma non è un punto di estremo locale.
Dunque potrebbe essere che ci sia un estremo locale, e quì siamo d'accordo. Il secondo punto invece non mi è molto chiaro, infatti se $f'(x_0)=0$ certamente la funzione non è né crescente, né decrescente, né strettamente in $x_0$

Per l'ultimo punto non ho capito una cosa. Intende che se $f'(x_0)=0$ allora in $x_0$ la funzione è crescente o decrescente? se è così non è vero.

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[bravapersona1]

Il problema è solo sul secondo punto, ovvero quando dice che se $f'(x_0)=0$ allora la funzione è strettamente crescente in $x_0$.
Io sono d'accordo che possa essere crescente dato che, come nell'esempio $f(x)=x^3$ si ha che $f'(0)=0$ e nel punto $x=0$ possiamo anche considerare la funzione crescente.
Non sono d'accordo con la parola "Strettamente". Che ne pensi ?
(Sono appunti miei quindi potrebbe essere non vero al 100% quello che c'è scritto però non penso che mi sia sognato una parola lunga come strettamente )

[anto_zoolander]

Dire che se $f'(x_0)=0$ implichi che la funzione sia crescente o decrescente in $x_0$ è falso in partenza per il teorema precedente.

considera che il primo teorema può essere invertito dunque potrei dire che se $f$ è crescente in un certo intervallo $(a,b)$ allora nello stesso intervallo si ha $f'(x)>0$(analoghe considerazione per la decrescenza). Questo significa che certamente non può essere $f(x)=0$, prova a controllare se c'è qualche svista o errore di trascrizione.

[bravapersona1]

Allora dovrei limitarmi a dire che se $f'(x)=0$ quel punto è un candidato ad essere estremo locale?

[gugo82]

Occhio... La crescenza in un punto è una nozione abbastanza curiosa.
Essa non significa affatto che $f$ cresca a destra e/o a sinistra di un punto in cui la derivata prima è positiva.
Ad esempio, la funzione:
\[
f(x) := x + x^3\ \sin \frac{1}{x^2}
\]
ha derivata prima positiva in $0$, però non è monotòna in nessun intorno di tale punto.
Infatti:
\[
f^\prime (x) := \begin{cases} 1 + 3x^2\ \sin \frac{1}{x^2} - 2\ \cos \frac{1}{x^2} &\text{, se } x\neq 0\\
1 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
e $f^\prime$ ha segno che cambia intorno a $0$ (come si può vedere cercando di prendere il limite di $f^\prime$ per $x->0$); dunque, $f$ non è crescente né a destra né a sinistra di $0$, pur avendo derivata prima positiva in tale punto.

Più che altro, tale nozione riguarda il comportamento della funzione attorno al valore in $f(x_0)$: in particolare, se $f^\prime (x_0)>0$ allora $f(x)\ge f(x_0)$ per ogni $x$ in un opportuno intorno destro di $x_0$ e $f(x)\le f(x_0)$ per ogni $x$ in un opportuno intorno sinistro di $x_0$.

[anto_zoolander]

@gugo

leggendo a volte vedo che per crescenza in un punto, alcune persone intendono che la retta tangente in quel punto ha coefficiente angolare positivo(negativo). Non è più corretto pensare la crescenza in un punto, come appunto, il comportamento locale di una funzione? Seppure in un intorno di raggio piccolissimo? Anche nel teorema riporta 'è crescente in $x_0$'

[gugo82]

"anto_zoolander":@gugo

leggendo a volte vedo che per crescenza in un punto, alcune persone intendono che la retta tangente in quel punto ha coefficiente angolare positivo(negativo). Non è più corretto pensare la crescenza in un punto, come appunto, il comportamento locale di una funzione? Seppure in un intorno di raggio piccolissimo? Anche nel teorema riporta 'è crescente in $x_0$'

In realtà è proprio la locuzione "crescente in un punto" ad essere impropria o, comunque, può generare confusione.
Sarebbe meglio non dare un nome a tale proprietà e limitarsi a dire che se $f^\prime (x_0)>0$ allora valgono le relazioni tra $f(x)$ ed $f(x_0)$ che ho ricordato sopra.

[anto_zoolander]

"gugo82":

In realtà è proprio la locuzione "crescente in un punto" ad essere impropria o, comunque, può generare confusione. Sarebbe meglio non dare un nome a tale proprietà e limitarsi a dire che se $f^\prime (x_0)>0$ allora valgono le relazioni tra $f(x)$ ed $f(x_0)$ che ho ricordato sopra.

quindi a voler essere più formali(o corretti) sarebbe meglio scrivere:

sia $ f:X->RR $ e sia $ x_0inX $ tale che $ f $ sia derivabile in $ x_0 $. Se $ f'(x_0)>0 $ allora esiste un intorno di $x_0$ in cui valgono le seguenti cose:

$• forallx inI^+(x_0):x>x_0=>f(x)>f(x_0)$
$• forallx inI^(-)(x_0):xf(x)
quindi si ha che la funzione cresce in un intorno di $x_0$ e non proprio in $x_0$