Derivata prima di $ f(x) = \max(x, \sin x) $
Come da titolo, devo calcolare la derivata prima di questa funzione. $ f(x) $ posso riscriverla come
\[
f(x) =
\begin{cases}
x & \text{se } x > 0 \\
\sin x & \text{se } x \leq 0
\end{cases}
\]
La derivata prima è la stessa funzione condizionale con però le funzioni al suo interno derivate?
\[
f(x) =
\begin{cases}
x & \text{se } x > 0 \\
\sin x & \text{se } x \leq 0
\end{cases}
\]
La derivata prima è la stessa funzione condizionale con però le funzioni al suo interno derivate?
Risposte
Secondo te? Se sì, perché? Se no, perché? Hai provato ad applicare la definizione di derivabilità?
@Mephlip: Ottimo post. Mi permetto di aggiungere qualcosa.
[continuando] O sorgono problemi? Se cene sono, in che punti?
"Mephlip":
Secondo te? Se sì, perché? Se no, perché? Hai provato ad applicare la definizione di derivabilità?
[continuando] O sorgono problemi? Se cene sono, in che punti?
Le due funzioni coinvolte sono continue in tutto $ \mathbb $. L'unico problema che potrebbe sorgere è nel punto $ x = 0 $, ma...
\[
\lim_{\varepsilon \to 0^-} \frac{\sin (0+\varepsilon) - \sin 0}{\varepsilon} = 1
\]
\[
\lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{0+\varepsilon-0}{\varepsilon} = 1
\].
Quindi $ f (x) $ è derivabile in tutto $ \mathbb{R} $.
Però il mio dubbio è il seguente: se scrivo $ f^\prime (x) = \max(1, \cos x) $, $ y =1 $ sarà sempre quello più grande tra i due. Possibile che la derivata sia $ 1 $?
\[
\lim_{\varepsilon \to 0^-} \frac{\sin (0+\varepsilon) - \sin 0}{\varepsilon} = 1
\]
\[
\lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{0+\varepsilon-0}{\varepsilon} = 1
\].
Quindi $ f (x) $ è derivabile in tutto $ \mathbb{R} $.
Però il mio dubbio è il seguente: se scrivo $ f^\prime (x) = \max(1, \cos x) $, $ y =1 $ sarà sempre quello più grande tra i due. Possibile che la derivata sia $ 1 $?
@gugo82: Grazie 
.
@ncant: Non sono d'accordo con alcune cose che hai detto. È vero che la funzione è continua su tutto $\mathbb{R}$, come è vero ciò che hai affermato in $0$ ed è giusto il calcolo da te effettuato. Ma questo non esaurisce lo studio del problema; non ti basta la continuità in $x \ne 0$ per poter dedurre che non ci sono problemi di derivabilità per $x \ne 0$ e procedere con le regole di derivazione (dico questo perché non hai affermato nulla sulla derivabilità in punti $x \ne 0$, o meglio: hai detto che l'unico problema è potenzialmente in $x=0$, ma non hai spiegato perché). Devi assicurarti che la funzione sia derivabile in ogni $x \ne 0$ per poter derivare impunemente con le regole di derivazione. Quindi, la domanda ora diventa: perché $f$ è derivabile per ogni $x \ne 0$? Sai ricondurre questo problema al problema della derivabilità delle funzioni elementari (che hai già studiato durante il tuo corso)? Prova a costruire un argomento rigoroso per rispondere a questa domanda (che poi è dove voleva portarti l'aggiunta fatta da gugo82).
Per l'altra domanda, puoi risponderti da solo applicando vari punti di vista. Uno è quello grafico: hai detto tu stesso che $f$ si scrive equivalentemente come $x$ se $x>0$ o $\sin x$ se $x \le 0$, quindi chiaramente il ramo di $f$ per $x \le 0$ non può avere derivata costantemente $1$ essendo il grafico di $f$ coincidente con il grafico della funzione $\sin x$ per $x \le 0$. È invece vero che, dopo un opportuno studio dei punti potenzialmente di non derivabilità, puoi derivare i rami della funzione $f$; ciò è ben diverso da derivare i due argomenti della funzione massimo (ossia, è ben diverso da affermare che la derivata della funzione massimo è il massimo delle derivate degli argomenti della funzione massimo). Quello che è vero è:
$$f'(x)=\begin{cases} 1 & \text{se} \ x \ge 0 \\ \cos x & \text{se} \ x < 0 \end{cases}$$
Comunque, non pensavo che avrei mai trovato sul forum un altro fan di Umineko. Ottimi gusti.
.@ncant: Non sono d'accordo con alcune cose che hai detto. È vero che la funzione è continua su tutto $\mathbb{R}$, come è vero ciò che hai affermato in $0$ ed è giusto il calcolo da te effettuato. Ma questo non esaurisce lo studio del problema; non ti basta la continuità in $x \ne 0$ per poter dedurre che non ci sono problemi di derivabilità per $x \ne 0$ e procedere con le regole di derivazione (dico questo perché non hai affermato nulla sulla derivabilità in punti $x \ne 0$, o meglio: hai detto che l'unico problema è potenzialmente in $x=0$, ma non hai spiegato perché). Devi assicurarti che la funzione sia derivabile in ogni $x \ne 0$ per poter derivare impunemente con le regole di derivazione. Quindi, la domanda ora diventa: perché $f$ è derivabile per ogni $x \ne 0$? Sai ricondurre questo problema al problema della derivabilità delle funzioni elementari (che hai già studiato durante il tuo corso)? Prova a costruire un argomento rigoroso per rispondere a questa domanda (che poi è dove voleva portarti l'aggiunta fatta da gugo82).
Per l'altra domanda, puoi risponderti da solo applicando vari punti di vista. Uno è quello grafico: hai detto tu stesso che $f$ si scrive equivalentemente come $x$ se $x>0$ o $\sin x$ se $x \le 0$, quindi chiaramente il ramo di $f$ per $x \le 0$ non può avere derivata costantemente $1$ essendo il grafico di $f$ coincidente con il grafico della funzione $\sin x$ per $x \le 0$. È invece vero che, dopo un opportuno studio dei punti potenzialmente di non derivabilità, puoi derivare i rami della funzione $f$; ciò è ben diverso da derivare i due argomenti della funzione massimo (ossia, è ben diverso da affermare che la derivata della funzione massimo è il massimo delle derivate degli argomenti della funzione massimo). Quello che è vero è:
$$f'(x)=\begin{cases} 1 & \text{se} \ x \ge 0 \\ \cos x & \text{se} \ x < 0 \end{cases}$$
Comunque, non pensavo che avrei mai trovato sul forum un altro fan di Umineko. Ottimi gusti
.
"Mephlip":
non ti basta la continuità in $x \ne 0$ per poter dedurre che non ci sono problemi per $x \ne 0$ e procedere con le regole di derivazione (dico questo perché non hai affermato nulla sulla derivabilità in punti $x \ne 0$, o meglio: hai detto che l'unico problema è potenzialmente in $x=0$, ma non hai spiegato perché). Devi assicurarti che la funzione sia derivabile in ogni $x \ne 0$ per poter derivare impunemente con le regole di derivazione. Quindi, la domanda ora diventa: perché $f$ è derivabile per ogni $x \ne 0$?
La continuità di una funzione non garantisce che sia derivabile (ne è un esempio la [url=https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_Weierstrass#:~:text=In%20matematica%2C%20la%20funzione%20di,nel%201872)%20a%20Karl%20Weierstra%C3%9F.]funzione di Weierstrass[/url]). Voglio dimostrare che $ f(x) = \sin x $ sia derivabile in tutto $ \mathbb{R} $. Calcolo, per ogni $ a \in \mathbb{R} $
\[
(\sin^\prime)(a) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (a+h) - \sin a}{h}
\]
per note formule trigonometriche sappiamo che
\[
\sin (a+h) = \sin(a)\cos(h)+\cos(a)\sin(h)
\]
da cui
\[
\frac{\sin (a+h) - \sin a}{h} = \sin (a) \frac{cos(h)-1}{h} + \cos(a) \frac{sin(h)}{h}
\]
Passando al limite per $ h \to 0 $ e ricordando gli opportuni limiti notevoli si conclude che
\[
(\sin)^\prime(a) = \cos a
\]
Stessa cosa per $ f(x) = x $. Penso (e spero
) che questo sia sufficiente in quanto la $ f(x) $ iniziale sono essenzialmente queste due funzioni derivabili su tutto $ \mathbb{R} $ (sono di classe $ C^{+\infty} $, ma con un qualcosa che ne "preleva" una a seconda del valore di $ x $."Mephlip":
Comunque, non pensavo che avrei mai trovato sul forum un altro fan di Umineko. Ottimi gusti
Grazie
Quello che fai è giusto, però intendevo dire un'altra cosa: la derivata, essendo definita tramite un limite, è un concetto locale. Quindi, preso un $x_0 \ne 0$ fissato arbitrario, se $|h|$ sufficientemente piccolo (ad esempio, $0<|h|<\frac{|x_0|}{2}$), hai che l'intorno bucato centrato in $x_0$ e di raggio $|h|$ è interamente contenuto in $(0,+\infty)$ o in $(-\infty,0)$ (dipende se $x_0>0$ o $x_0<0$). Perciò, in quei casi, la derivabilità di $f$ è equivalente alla derivabilità delle funzioni elementari $x \mapsto x$ o $x \mapsto \sin x$; esse sono derivabili su tutto $\mathbb{R}$ (lo sapevi già per il conto che hai riportato). Dunque, per $x_0 \ne 0$ puoi già dire che $f$ è derivabile e la sua derivata per $x>0$ o $x<0$ coincide con le note derivate dei singoli rami di $f$. Se $x_0=0$, non puoi più ragionare così: infatti, $f$ cambia definizione in ogni intorno dell'origine e quindi non potrai mai assumere $|h|$ sufficientemente piccolo in modo da essere solamente in $(0,+\infty)$ o solamente in $(-\infty,0)$. Perciò, non hai più a che fare con una funzione elementare in senso proprio; devi pertanto studiare isolatamente $x_0=0$ procedendo come hai fatto, ossia applicando la definizione di derivata.
Infine, un esempio più semplice di funzione continua su tutto $\mathbb{R}$ ma non derivabile su tutto $\mathbb{R}$ è $x \mapsto |x|$.
Infine, un esempio più semplice di funzione continua su tutto $\mathbb{R}$ ma non derivabile su tutto $\mathbb{R}$ è $x \mapsto |x|$.
@Mephlip, on so davvero come ringraziarti per la spiegazione 
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