Derivata prima con discontinuità... un aiuto!
Spero abbiate la pazienza di aiutarmi.
La funzione $y= x/(sqrt(x) - 1)$ ha derivata prima, se ho fatto bene i calcoli: $(sqrt(x) - 2)/(2(sqrt(x) - 1)^2)$. Questa funzione derivata presenta quindi una discontinuità in x = 0. Cosa comporta questo ? Che succede in questo punto insomma?
(perdonatemi ma non so ancora come usare formule e linguaggi matematici qui, spero si capisca comunque)
La funzione $y= x/(sqrt(x) - 1)$ ha derivata prima, se ho fatto bene i calcoli: $(sqrt(x) - 2)/(2(sqrt(x) - 1)^2)$. Questa funzione derivata presenta quindi una discontinuità in x = 0. Cosa comporta questo ? Che succede in questo punto insomma?
(perdonatemi ma non so ancora come usare formule e linguaggi matematici qui, spero si capisca comunque)
Risposte
Discontinuità in [tex]$0$[/tex]? Sicuro?
P.S.: Con i miei poteri da mod ho messo a posto le formule (clicca sulla parola per leggere le istruzioni del MathML).
P.P.S.: La derivata è giusta.
P.S.: Con i miei poteri da mod ho messo a posto le formule (clicca sulla parola per leggere le istruzioni del MathML).
P.P.S.: La derivata è giusta.
Essì, perchè viene una radice di x al denominatore. io ho razionalizzato. Comunque viene fuori per forza perchè lo dice anche sulla soluzione sul libro.
P.s. Ahah, e io che avevo provato a scriverle e avevo combinato un macello
grazie di esser intervenuto!
P.s. Ahah, e io che avevo provato a scriverle e avevo combinato un macello
grazie di esser intervenuto!
Scusa ma la funzione di partenza è [tex]$\frac{x}{\sqrt{x} -1}$[/tex] oppure [tex]$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} -1}$[/tex]?
C'è una x al numeratore. Cavolo, avevo scritto radicalx? Perdono 
Ah ok... Forse avevo toppato io la correzione, mi sà.
Ad ogni modo, la derivata è:
[tex]$f^\prime (x) =\frac{\sqrt{x} -2}{2(\sqrt{x} -1)^2}$[/tex]
e non ha discontinuità in [tex]$0$[/tex] (infatti [tex]$f^\prime (0)=-1 =\lim_{x\to 0^+} f^\prime (x)$[/tex]; N.B.: si può fare solo il limite da destra perchè [tex]$f(x)$[/tex] è definita solo per [tex]$x\in [0,+\infty[ \setminus \{ 1\}$[/tex]).
Ad ogni modo, la derivata è:
[tex]$f^\prime (x) =\frac{\sqrt{x} -2}{2(\sqrt{x} -1)^2}$[/tex]
e non ha discontinuità in [tex]$0$[/tex] (infatti [tex]$f^\prime (0)=-1 =\lim_{x\to 0^+} f^\prime (x)$[/tex]; N.B.: si può fare solo il limite da destra perchè [tex]$f(x)$[/tex] è definita solo per [tex]$x\in [0,+\infty[ \setminus \{ 1\}$[/tex]).
No scusa... prima di arrivare a quella formula finale della derivata prima, c'è di mezzo y= [radicalx -1 -x(1/2radicalx)]/(radicalx -1)^2 quindi un radicalx al denominatore... Perciò deve essere x diverso da 0... Quindi sarebbe un punto di discontinuità eliminabile (0,1).
Tra l'altro il mio libro riporta tra la soluzione proprio il fatto che ci sia suddetta discontinuità.
Tra l'altro il mio libro riporta tra la soluzione proprio il fatto che ci sia suddetta discontinuità.
La derivata in zero esiste e si può vedere calcolando esplicitamente il limite del rapporto incrementale: infatti:
[tex]$\lim_{h\to 0^+} \frac{f(0+h) -f(0)}{h} =\lim_{h\to 0^+} \frac{\frac{h}{\sqrt{h} -1}}{h} =\lim_{h\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h} -1} =-1$[/tex]
ergo per definizione [tex]$f^\prime (0)=-1$[/tex].
Per calcolare [tex]$f^\prime (x)$[/tex] per [tex]$x>0$[/tex] puoi ricorrere senza problemi alla formula di derivazione, ottenendo il risultato riportato sopra.
Infine ti accorgi che la derivata, definita per casi da:
[tex]$f^\prime (x):=\begin{cases} 0 &\text{, se $x=0$}\\ \frac{\sqrt{x} -2}{2(\sqrt{x} -1)^2} &\text{, se $x>0$ ed $x\neq 1$}\end{cases}$[/tex],
è continua semplicemente facendo il limite (come detto nel post precedente).
Pertanto non vedo dove sia il problema: per me non c'è discontinuità in [tex]$0$[/tex].
[tex]$\lim_{h\to 0^+} \frac{f(0+h) -f(0)}{h} =\lim_{h\to 0^+} \frac{\frac{h}{\sqrt{h} -1}}{h} =\lim_{h\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h} -1} =-1$[/tex]
ergo per definizione [tex]$f^\prime (0)=-1$[/tex].
Per calcolare [tex]$f^\prime (x)$[/tex] per [tex]$x>0$[/tex] puoi ricorrere senza problemi alla formula di derivazione, ottenendo il risultato riportato sopra.
Infine ti accorgi che la derivata, definita per casi da:
[tex]$f^\prime (x):=\begin{cases} 0 &\text{, se $x=0$}\\ \frac{\sqrt{x} -2}{2(\sqrt{x} -1)^2} &\text{, se $x>0$ ed $x\neq 1$}\end{cases}$[/tex],
è continua semplicemente facendo il limite (come detto nel post precedente).
Pertanto non vedo dove sia il problema: per me non c'è discontinuità in [tex]$0$[/tex].
Il problema è che il mio libro dice esplicitamente "la funzione derivata prima riporta una discontinuità eliminabile per x=0", e, ripeto, nei calcoli di prima c'è la x al denominatore, non è che posso eliminarla come niente, no?
Io lo davo già per certo che la discontinuità ci fosse, mi chiedevo cosa significasse dunque che la funzione derivata non fosse definita in quel punto!
Hai ragione però, il rapporto incrementale esiste...
Io lo davo già per certo che la discontinuità ci fosse, mi chiedevo cosa significasse dunque che la funzione derivata non fosse definita in quel punto!
Hai ragione però, il rapporto incrementale esiste...
IMHO, ha sbagliato il testo. Capita.
Ah, ok. Grazie 
scusa l'ignoranza, che significa IMHO?
EDIT: trovato, grazie!
scusa l'ignoranza, che significa IMHO?EDIT: trovato, grazie!
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