Derivata prima....

[kioccolatino90]

buona sera ho la funzione $y=(x+e)/(1+ln x)$ e ne devo calcolare la derivata prima, a me esce:

$y'= ((1+e)(1+ln x)-(x+e)*1/x)/(1+ln^2 x)=$ $= (1+ln x+e+e lnx-1+e/x)/(1+ln^2 x)=$ $ (ln x+e+e lnx+e/x)/(1+ln^2 x)=$ $ (lnx(1+e)+e(1+1/x))/(1+ln^2 x)$ però adesso non riesco più ad andare avanti....come posso fare?

[Pazzuzu]

"Giuly19":Se bisogna usare un metodo grafico vuol dire che una soluzione analitica non esiste, fine del discorso.
Se il grafico è fatto in modo decente, anche se non si può determinare la/le soluzione/i (/l'intervallo soluzione), si riesce ad approssimare quanto si voglia il valore numerico delle incognite.
Da $x^x = e^e$ non si può assolutamente concludere che la soluzione è $x=e$.

E nel caso dello studio del nominatore della derivata prima che ha proposto domy90 come ti comporteresti ? Ammettiamo che ci serva un valore preciso di per il quale il numeratore diviene positivo...

[Lorin1]

E' come dicevo io Pazzuzu. Il procedimento grafico entra in gioco quando quello analitico non si può applicare. Non ha senso $x^x=e^e => x=e$

[Pazzuzu]

Non riesco a capire perchè non dovrebbe avere senso..prova a spiegarti meglio

[Lorin1]

Scusa se ti faccio questa domanda: ma la teoria delle equazioni esponenziali la conosci!? Non prenderla come un rimprovero però...non voglio fare il professore di nessuno . E' solo che non mi trovo con il tuo ragionamento e, a quanto pare non sono l'unico. Se tu applicassi lo stesso procedimento ad un'equazione del genere, $x^x=e^2$ avresti detto che $x=2$ fosse stata la risposta!?
La teoria delle equazioni esponenziali è semplice, sopratutto quella che riguarda le equazioni di "primo tipo", cioè quelle in cui si riduce tutto ad un'unica base e si lavora con gli esponenti, del tipo $2^x=8 => 2^x=2^3 => x=3$; quando invece ciò non è possibile allora si ricorre ad altre tecniche, tra cui la soluzione grafica, come nel nostro caso.

[Giuly191]

Non ha senso perchè, come ti è stato detto prima, $x^x = e^ (x log x)$, da quell'uguaglianza quindi ottieni semplicemente l'equazione di partenza: $e^(x log x) = e^ e => x logx = e$.
Io comunque l'avrei risolto così:
$x log x$ è defintia per $x>0$ e $ lim_(x-> 0^+) x log x = 0^- $. Dallo studio della derivata si nota che ha un minimo in $1/e$ dove vale $-1/e$, per tutti gli altri valori la derivata è diversa da $0$. Infine per $x-> +oo$ il limite vale $+oo$. Di conseguenza qualsiasi retta orizzontale al di sopra dell'asse delle ascisse avrà intersezione unica con la nostra funzione (è il caso di $x=e$).Per determinarla, facendo un grafico come si deve perlomeno ti accorgi che questa soluzione sta, diciamo, in $(0,10)$.
A questo punto se non hai un colpo d'occhio non ci arrivi al fatto che la soluzione è $x=e$. In questo caso è veramente banale notarlo, in altri casi, come giustamente dicevi, magari lo è molto meno. In quei casi di solito è sufficiente scrivere un intervallo in cui la soluzione sicuramente andrà a cadere (anche perchè è molto raro che la soluzione sia così bella come in questo caso). Per restringere sempre di più l'intervallo in cui la soluzione sicuramente sta si usa il metodo della bisezione, basato di fatto sul teorema degli zeri, se non conosci questo metodo cerca su wiki che è spiegato bene.

[Pazzuzu]

Grazie mille Lorin e Giuly19 ,mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua. Conosco il metodo di bisezione e la teoria delle equazioni esponenziali ,anche se quest'ultima un pò arruginita. Il fatto è che non mi è mai capitato di avere tra le mani disequazioni tali da dover essere risolte col metodo grafico o che avessero a che fare con punti sottili delle equazioni esponenziali e per forza di cose tutta la teoria su questa parte ha finito per prendere un pò di polvere..
edit: Ovviamente parlavo solo del caso $x^x = e^e$ e non di casi come $x^x = e^2$ in cui non è possibile dire assolutamente nulla senza svolgimento grafico.

[Lorin1]

Di nulla!

[kioccolatino90]

"Lorin":Anche perchè per passare agli esponenti, dalla teoria delle equazioni esponenziali bisogna avere le stesse basi. Comunque spero che all'utente sia tutto chiaro!

ma l'esercizio da come logaritmo quello in base naturale....ho sbagliato lo stesso però, a quanto ho capito....

[Lorin1]

"domy90":[quote="Lorin"]Anche perchè per passare agli esponenti, dalla teoria delle equazioni esponenziali bisogna avere le stesse basi. Comunque spero che all'utente sia tutto chiaro!

ma l'esercizio da come logaritmo quello in base naturale....ho sbagliato lo stesso però, a quanto ho capito....[/quote]

Non centra nulla. E poi non ci riferivamo alle basi del logaritmo, ma alle basi delle funzioni esponenziali.

[salvozungri]

Il problema di fondo, per come la vedo io, è che la funzione \(x^x\) non è iniettiva, di conseguenza,fissato \(a>0\), l'implicazione \(x^x= a^a,\implies x=a\) è falsa. E' vera però l'implicazione "per ogni \(a>0\quad x=a\implies x^x= a^a\)" . Puoi concludere che \(x=a\) è una soluzione dell'equazione, non è detto che sia l'unica. In particolare se \(01\), l'equazione ammette un' unica soluzione per ciò che ha detto Giuly19.

[Pazzuzu]

"Mathematico":Il problema di fondo, per come la vedo io, è che la funzione \(x^x\) non è iniettiva, di conseguenza,fissato \(a>0\), l'implicazione \(x^x= a^a,\implies x=a\) è falsa. E' vera però l'implicazione "per ogni \(a>0\quad x=a\implies x^x= a^a\)" . Puoi concludere che \(x=a\) è una soluzione dell'equazione, non è detto che sia l'unica. In particolare se \(01\), l'equazione ammette un' unica soluzione per ciò che ha detto Giuly19.

Quindi non ero affatto in torto quando dicevo che per il caso particolare $x^x = e^e$ posso affermare che $x=e$ ?

[Gi81]

"Pazzuzu":Quindi non ero affatto in torto quando dicevo che per il caso particolare $x^x = e^e$ posso affermare che $x=e$ ?

Direi proprio che avevi ragione. Questo è il grafico di $f(x)=x^x$ (tra $0$ e $2.4$)

Si dimostra facilmente che per $x>1$ la funzione è strettamente crescente, quindi $f$, ristretta a $(1,+oo)$ è invertibile.
Inoltre, $AA x in (0,1]$ si ha $0
Quindi, se si cerca $x$ tale che $f(x)=f(e)$, poichè $e>1$
senza pensarci due volte si può affermare che $x=e$, e che non ci sono altre soluzioni.

[gugo82]

@Pazzuzzu:

"Pazzuzu":[quote="Mathematico"]Il problema di fondo, per come la vedo io, è che la funzione \(x^x\) non è iniettiva, di conseguenza,fissato \(a>0\), l'implicazione \(x^x= a^a,\implies x=a\) è falsa. E' vera però l'implicazione "per ogni \(a>0\quad x=a\implies x^x= a^a\)" . Puoi concludere che \(x=a\) è una soluzione dell'equazione, non è detto che sia l'unica. In particolare se \(01\), l'equazione ammette un' unica soluzione per ciò che ha detto Giuly19.

Quindi non ero affatto in torto quando dicevo che per il caso particolare $x^x = e^e$ posso affermare che $x=e$ ?[/quote]
Non avevi torto, ma le ragioni addotte per la giustificazione della tua conclusione erano risibili.
E, dato che in Matematica, le giustificazioni contano tanto quanto i risultati (anzi, forse pure di più*), hanno fatto bene gli utenti a farti notare questa mancanza.

Vorrei, una volta per tutte, mettere fine a questa discussione.
Vogliamo risolvere la disequazione \(x^x-e^e\geq 0\).
È del tutto ovvio che risolvere la disequazione equivale a studiare il segno dell'applicazione \(\phi(x):=x^x-e^e\), cosa che adesso faremo.
Si vede che \(\phi(e)=0\); d'altra parte si ha \(\phi^\prime (x)=x^x\ (1+\ln x)\), quindi \(\phi(x)\) è strettamente crescente per \(x\geq 1/e\) e strettamente decrescente per \(0 Conseguentemente, dato che \(e>1/e\), dalla monotonia di \(\phi (x)\) in \([1/e,+\infty[\) discende che:
\[x\geq e\ \Rightarrow\ \phi(x)\geq \phi(e)=0\qquad \text{e}\qquad 1/e\leq x< e\ \Rightarrow\ \phi(x)<\phi(e)=0\; ;\]
pertanto, limitatamente all'intervallo di monotonia \([1/e,+\infty[\), le soluzioni della disequazione \(\phi(x)\geq 0\) sono tutti e soli i punti dell'intervallo \([e,+\infty[\).
Ora dobbiamo stabilire se ci sono soluzioni della disequazione \(\phi(x)\geq 0\) nell'altro intervallo di monotonia, ossia in \(]0,1/e]\). Per il teorema di regolarità delle funzioni monotone, abbiamo:
\[\sup_{0 (l'ultima disuguaglianza è vera in quanto \(1<4=2^2 Mettendo insieme i due risultati ottenuti, possiamo dire che la disequazione \(x^x-e^e\geq 0\) ha come soluzioni tutti e soli i punti nell'intervallo \([e,+\infty[\), ossia tutti e soli gli \(x\geq e\).

Come avrai notato per risolvere una "banale" disequazione ho dovuto usare i teoremi sui limiti ed il Calcolo Differenziale... Questa cosa non è insolita: infatti, quando una disequazione non si può risolvere con metodi elementari (i.e., con i metodi che insegnano anche alle superiori), è molto probabile si debbano usare strumenti più sofisticati.
Ad esempio, anche per stabilire che \(\arctan x\geq x\ \Leftrightarrow\ x\leq 0\) bisogna usare il Calcolo (o la Geometria Elementare).

__________
* Ad esempio, pensa ai cosiddetti teoremi di impossibilità, i quali (nella massima parte dei casi) asseriscono che è del tutto impossibile fare una "costruzione" che, ad una prima occhiata, sembra realizzabilissima... In questi casi è evidente che la giustificazione (che si concretizza nelle correttezza della dimostrazione) di un risultato del genere è molto più importante del risultato stesso.

[Lorin1]

Provvidenziale intervento Gugo...sempre molto preciso e conciso!

[Pazzuzu]

"gugo82":@Pazzuzzu:
Non avevi torto, ma le ragioni addotte per la giustificazione della tua conclusione erano risibili.
E, dato che in Matematica, le giustificazioni contano tanto quanto i risultati (anzi, forse pure di più*), hanno fatto bene gli utenti a farti notare questa mancanza.

Guarda che io non ho mai dato alcuna giustificazione su nulla. L'unica cosa che ho detto è che nel caso particolare $x^x = e^e$ posso concludere che $x = e$. Non ho detto il perchè e non ho detto il come. Tutte le conclusioni le hanno tirate fuori gli altri utenti. Io conoscevo già la funzione $y= x^x$ visto che viene descritta in qualsiasi corso di analisi e sapevo di poter affermare che $x=e$ ma non ho mai detto perchè. Lorin ha tirato fuori il fatto che stessi lavorando con gli esponenziali ma non è affatto così. Conoscevo già $x^x$ come la conosce qualunque studente che ha frequentato analisi. Quindi le ragioni addotte per la giustificazione del risultato non erano risibili proprio perchè non ne ho fornito, la discussione ha deviato subito su altre parti. Ovviamente ,anche se ero sicuro di quel che dicevo, avere due utenti contro mi ha fatto sollevare dei dubbi come succederebbe a chiunque con un minimo di spirito critico. Ti ringrazio comunque per la bella spiegazione che hai fornito.
Saluti

[kioccolatino90]

quindi devo dare una spiegazione di quel passaggio altrimenti è un errore.....e per quanto riguarda il fatto che non riesco a trovare la derivata seconda della funzione $y=(x+e)/(1+ln x)$??? come posso fare?

[lobacevskij]

Ehm, nel senso che non riesci a calcolarla?
A te cosa viene? Io ho provato a farla e, lunghezza dei conti a parte, non ha niente di complicato.
Magari posta il tuo tentativo e segna se e dove ti blocchi o hai dubbi

EDIT

"domy90":quello difficile è la derivata seconda....che mi esce:

$(-xln(x)+x+eln (x)+3e)/(x^2(ln(x)+1)^3)$ ma oltre a scriverla in questo modo $(x(1-ln(x))+e(ln(x)+3))/(x^2(ln(x)+1)^3)$ non riesco a fare più nulla....

Ok, anche a me viene quel risultato. Ora sei bloccato sul come studiarla?

[kioccolatino90]

si infatti non riesco a studiarla....soprattutto il numeratore....

[gugo82]

"Pazzuzu":[quote="gugo82"]@Pazzuzzu:
Non avevi torto, ma le ragioni addotte per la giustificazione della tua conclusione erano risibili.
E, dato che in Matematica, le giustificazioni contano tanto quanto i risultati (anzi, forse pure di più*), hanno fatto bene gli utenti a farti notare questa mancanza.

Guarda che io non ho mai dato alcuna giustificazione su nulla. L'unica cosa che ho detto è che nel caso particolare $x^x = e^e$ posso concludere che $x = e$. Non ho detto il perchè e non ho detto il come. Tutte le conclusioni le hanno tirate fuori gli altri utenti. Io conoscevo già la funzione $y= x^x$ visto che viene descritta in qualsiasi corso di analisi e sapevo di poter affermare che $x=e$ ma non ho mai detto perchè. Lorin ha tirato fuori il fatto che stessi lavorando con gli esponenziali ma non è affatto così. Conoscevo già $x^x$ come la conosce qualunque studente che ha frequentato analisi. Quindi le ragioni addotte per la giustificazione del risultato non erano risibili proprio perchè non ne ho fornito, la discussione ha deviato subito su altre parti. Ovviamente ,anche se ero sicuro di quel che dicevo, avere due utenti contro mi ha fatto sollevare dei dubbi come succederebbe a chiunque con un minimo di spirito critico. Ti ringrazio comunque per la bella spiegazione che hai fornito.[/quote]
Ok, errore mio scusa...
Ma sai com'è, non sono abituato a buttare lì risultati a caso quando parlo di Matematica, ergo credo che nemmeno gli altri utenti lo facciano.

Una cosa mi preme far notare: mentre è del tutto evidente che da \(x=e\) segua \(x^x=e^e\), e molto meno evidente che \(x^x=e^e\) discenda \(x=e\).
Infatti, per giustificare l'implicazione \(x=e\ \Rightarrow\ x^x=e^e\) servono gli assiomi dell'uguaglianza; però per provare che \(x^x=e^e\ \Rightarrow\ x=e\) serve lavorare in maniera fine col Calcolo (come detto in precedenza).

[Pazzuzu]

"gugo82":
Ok, errore mio scusa...
Ma sai com'è, non sono abituato a buttare lì risultati a caso quando parlo di Matematica, ergo credo che nemmeno gli altri utenti lo facciano.
Una cosa mi preme far notare: mentre è del tutto evidente che da \(x=e\) segua \(x^x=e^e\), e molto meno evidente che \(x^x=e^e\) discenda \(x=e\).
Infatti, per giustificare l'implicazione \(x=e\ \Rightarrow\ x^x=e^e\) servono gli assiomi dell'uguaglianza; però per provare che \(x^x=e^e\ \Rightarrow\ x=e\) serve lavorare in maniera fine col Calcolo (come detto in precedenza).

Non ho dato giustificazioni del risultato per due motivi:
- Non mi sembrava che ce ne fosse assolutamente bisogno , davo per scontata una buona conoscenza della funzione $x^x$ ..Mi spiego meglio con un esempio :Tu , se non ti venisse chiesto esplicitamente, giustificheresti $log x = 1 \rightarrow x =e$ durante lo svolgimento di un qualsiasi calcolo? Per $x^x$ mi sono comportato esattamente così..Mi pareva così naturale..Errore mio, da questo punto di vista..
-La discussione è degenerata abbastanza in fretta allontanandosi sempre più dallo stile della piacevole chiacchierata ; inoltre mi incuriosiva conoscere i metodi di risoluzione degli altri utenti, per un confronto e per un eventuale miglioramento dei miei..
Comunque ,tornando a noi:
Sono d'accordissimo sul fatto che per provare $x^x = e^e \rightarrow x=e$ si debba lavorare col Calcolo. Se non si è mai vista la funzione $x^x$ non si può concludere assolutamente nulla sull'eguaglianza tanto discussa $x^x = a^a , a in RR$, servono quindi i metodi dell'analisi e la stesura di un bel grafico per schiarirsi le idee.
In ogni caso non può che avermi fatto bene un ripasso di queste nozioni
Un saluto