Derivata prima....

[kioccolatino90]

buona sera ho la funzione $y=(x+e)/(1+ln x)$ e ne devo calcolare la derivata prima, a me esce:

$y'= ((1+e)(1+ln x)-(x+e)*1/x)/(1+ln^2 x)=$ $= (1+ln x+e+e lnx-1+e/x)/(1+ln^2 x)=$ $ (ln x+e+e lnx+e/x)/(1+ln^2 x)=$ $ (lnx(1+e)+e(1+1/x))/(1+ln^2 x)$ però adesso non riesco più ad andare avanti....come posso fare?

[lobacevskij]

Guarda che al denominatore devi fare il quadrato, che non è $1+ln^2x$ ma $1+2lnx+ln^2x$
Poi al numeratore devi stare attento al segno; l'ultimo termine non è $+e/x$ ma $-e/x$

[byob12]

innanzitutto $D(x+e)=1$ metre tu hai scritto $D(x+e)=1+e$

[lobacevskij]

Che occhio, in quel mare di errori quello mi era sfuggito
Un consiglio domy90, riguardati bene le regole di derivazione, perchè quella che hai proposto è tutto fuorchè difficile;)

[kioccolatino90]

Giusto!!!! la derivata di $1+e$ è uguale ad $1$, io invece mi sono confuso con $e^x$ che è uguale ad $e^x$....$e$ è una costante che è uguale a zero...

ricorreggendo esce: $y'=(1+lnx-1/x(x+e))/(1+2ln x+ln^2x)=$ $(1+lnx-1-e/x)/(1+2ln x+ln^2x)=$ $(lnx-e/x)/(1+2ln x+ln^2x)=$ $(xlnx-e)/(x(1+2ln x+ln^2x))$.

[chiaraotta1]

Forse, se poi devi studiarne il segno o derivare nuovamente $f'(x)$, è conveniente lasciare a denominatore il quadrato indicato: $f'(x) = (x*ln(x) - e)/(x*(ln(x) + 1)^2)$.

[kioccolatino90]

si infatti devo studiarne il segno...... una cosa che non capisco è come determinare la positività del numeratore...

$x ln (x)-e>=0$ $rarr$ $ln (x)>=e/x$ a questo punto potevo lasciare le cose come stavano senza fare il m.c.m; comunque poi mi esce $x>=e^(e/x)$...ma non è questo il risultato.....

[kioccolatino90]

quello difficile è la derivata seconda....che mi esce:

$(-xln(x)+x+eln (x)+3e)/(x^2(ln(x)+1)^3)$ ma oltre a scriverla in questo modo $(x(1-ln(x))+e(ln(x)+3))/(x^2(ln(x)+1)^3)$ non riesco a fare più nulla....

[kioccolatino90]

ragazzi sto provando diverse volte a calcolare la derivata seconda ma non ci riesco....posto i miei passaggi?

[Lorin1]

"domy90":si infatti devo studiarne il segno...... una cosa che non capisco è come determinare la positività del numeratore...

$x ln (x)-e>=0$ $rarr$ $ln (x)>=e/x$ a questo punto potevo lasciare le cose come stavano senza fare il m.c.m; comunque poi mi esce $x>=e^(e/x)$...ma non è questo il risultato.....

Ripartiamo da questo punto. Quando arrivi a studiare la disequazioni $logx>= e/x$, per risolverla devi utilizzare il metodo grafico, quindi vedere quando la funzione logaritmo sta sopra la funzione al secondo membro, che se fai bene attenzione è un iperbole riferita agli assi cartesiani, del tipo $k/x, k>0$, quindi non dovrebbe essere complesso lo studio.

[kioccolatino90]

ma non si può anche fare $xlog(x)-e>=0$ $rarr$ $log (x)^x>=e$ applico l'esponenziale ed esce: $x^x>=e^e$ $rArr$ $x>=e$?????

[Lorin1]

Direi di no, anche perchè la funzione $x^x$ equivale a $e^(xlogx)$ e poi quella disequazioni va svolta, solitamente con il metodo grafico...

[Pazzuzu]

Scusate l'intromissione ma l'esercizio mi ha incurisito..lorin anche per via grafica si ottiene $x >=e $ .

[Lorin1]

Sinceramente quando ho quel tipo di disequazioni non mi sono posto il problema di trovare un modo algebrico per risolverle. Nel senso che mi hanno abituato a ragionare per via grafica. Sopratutto nel caso in cui si deve lavorare con funzione di questo tipo $f(x)^(g(x))$, sulle quali bisogna sempre imporre delle particolari condizioni di esistenza.

[Pazzuzu]

Certamente, ma ,parlando in particolare di questo esercizio, per scrivere successivamente una soluzione analitica ti serve almeno il valore in cui $y = e^(xlog x)$ e $y = e^e$ si intersecano, giusto ? Graficamente tu come trovi questo preciso valore numerico ?

[Lorin1]

Se devo risolvere la seguente disequazione $logx>=e/x$ avrei fatto la discussione grafica, facendo il grafico del logaritmo e quella dell'iperbole equilatera, poi avrei notato che per $x=e$ avevamo $loge=1$ e $e/e=1$ quindi i due grafici si toccano nel punto $(e,1)$. In generale comunque quando studio graficamente una disequazione sfrutto un pò l'intuito, studio le varie proprietà delle funzioni (tipo concavità, convessità, monotonia, positività...) e mi faccio un'idea dei grafici. Anche perchè si sa, la soluzione grafica è un procedimento di approssimazione dell'eventuale soluzione del problema. Sopratutto nel caso in cui non è possibile fare nessun passaggio analitico.

[Pazzuzu]

"Lorin":... poi avrei notato che per $x=e$ avevamo ...

E' proprio questo il difficile. Per quale valore del dominio i grafici di $f(x)$ e $g(x)$ assumono lo stesso valore ? Sono domande a cui non si può rispondere intuitivamente quando si ha a che fare con funzioni particolarmente intricate. Concordo ovviamente con te sul fatto che disegnare il grafico delle due funzioni possa solamente fare bene allo studente, aiutarlo a chiarirsi le idee e a non commettere errori di svista, ma anche lo studio grafico non può prescindere da una risoluzione analitica. Tu in questo caso ci sei arrivato a mente che le due curve si intersecavano per $x=e$, ma per funzioni più complicate non è così semplice e serve un metodo analitico per trovare questi valori tanto desiderati..

[Lorin1]

Si ma siamo assolutamente d'accordo su questo. Ciò che ho scritto io è un metodo generale che permette di studiare una disequazione graficamente, poi ovviamente si va caso per caso. Nel caso in questione, secondo me, per uno studente universitario non dovrebbe essere troppo complicato capire che in $x=e$ le funzioni di incontrano, anche perchè stiamo parlando di logaritmo naturale e di un'iperbole dove è presente la $e$. Con disequazioni tipo $cosx=logx$ il discorso cambia e mi sa che l'approccio da me proposto in precedenza vada bene, cioè studiando: monotonia, concavità, positività ecc...oppure applicando qualche teorema, per vedere, eventualmente, di approssimare i punti di intersezione. Ma si procede caso per caso

[Pazzuzu]

Devi concordare però anche sul fatto che nel caso della disequazione di domy90 anche una risoluzione analitica andava benissimo
Comunque penso che con questi post abbiamo trattato abbastanza approfonditamente la questione dello studio del segno del nominatore della $f'(x)$

[Giuly191]

Se bisogna usare un metodo grafico vuol dire che una soluzione analitica non esiste, fine del discorso.
Se il grafico è fatto in modo decente, anche se non si può determinare la/le soluzione/i (/l'intervallo soluzione), si riesce ad approssimare quanto si voglia il valore numerico delle incognite.
Da $x^x = e^e$ non si può assolutamente concludere che la soluzione è $x=e$.

[Lorin1]

Anche perchè per passare agli esponenti, dalla teoria delle equazioni esponenziali bisogna avere le stesse basi. Comunque spero che all'utente sia tutto chiaro!