Derivata parziale in una direzione V, svolgimento esercizio

[claudiodlf1]

Salve a tutti, avrei da risolvere questo esercizio però non sono riuscito a trovare un esempio per aiutarmi con lo svolgimento:

Sia :\(\displaystyle R^2 → R
f(x, y) = 2xy − y cos x \)

Calcolare \(\displaystyle (partial f)/(partial v) (π/2,1) \)
direzione \(\displaystyle v = (1/sqrt2,1/sqrt2) \)

Quello che mi lascia perplesso è che nelle derivate parziale degli esercizi che ho sempre svolto si derivava rispetto a una delle variabili che apparivano nella funzione (quindi x e y).

Se fosse stato scritto \(\displaystyle (partial f)/(partial x) (π/2,1) \) avrei fatto
\(\displaystyle (partial f)/(partial x) (2xy − y cos x) = (2y+ysen(x)) \)e poi avrei sostituito con \(\displaystyle (x = π/2) (y=1) \) e avrei trovato la soluzione (almeno penso).

Però l'esercizio chiede la derivata rispetto a v e da questo deriva il mio dubbio.

Spero di aver scritto bene le formule col codice corretto e di essere stato abbastanza chiaro. Grazie

p.s. ho editato, ora le formule dovrebbero essere leggibili

edit2: non capisco come mai non mi converte correttamente le formule matematiche, ho inserito le formule attraverso "aggiungi formula" e successivamente ho usato il "mathJax" però pare abbia commesso un errore non meglio definito.

[claudiodlf1]

"TeM":Ciao claudiodlf, innnanzitutto ben iscritto

Definizione: Sia \(f: A \to \mathbb{R}\), con \(A\) aperto di \(\mathbb{R}^2\), \(\left(x_0,\,y_0\right)\in A\), e sia \(\hat{v}:=\left(v_1,\,v_2\right)\) un versore.
Si dice derivata direzionale di \(f\) rispetto al versore \(\hat{v}\), nel punto \(\left(x_0,\,y_0\right)\), la quantità \[ D_{\hat{v}} f\left(x_0,\,y_0\right) := \lim_{t\to 0} \frac{f\left(x_0+t\,v_1,\,y_0+t\,v_2\right) - f\left(x_0,\,y_0\right)}{t} \] purché tale limite esista finito.

Nota: le derivate di direzioni \(\hat{v}=(1,\,0)\) e \(\hat{v}=(0,\,1)\), essendo speciali, in quanto calcolate rispettivamente lungo l'asse x e lungo l'asse y, prendono il nome di derivate parziali. Il vettore che ha per componenti le derivate parziali di \(f\) in \(\left(x_0,\,y_0\right)\) si dice vettore gradiente di \(f\), calcolato in \(\left(x_0,\,y_0\right)\), e solitamente si indica col simbolo \(\nabla f \left(x_0,\,y_0\right)\).

Teorema: Sia \(f: A \to \mathbb{R}\), con \(A\) aperto di \(\mathbb{R}^2\), \(f\) differenziabile in \(\left(x_0,\,y_0\right)\in A\).
Allora per ogni versore \(\hat{v}:=\left(v_1,\,v_2\right)\) esiste la derivata direzionale \(D_{\hat{v}} f\left(x_0,\,y_0\right)\),
e vale l'identità \[ D_{\hat{v}} f\left(x_0,\,y_0\right) = \nabla f \left(x_0,\,y_0\right) \cdot \hat{v} \] in letteratura nota come formula del gradiente.

Ciò scritto, sapresti svolgere l'esercizio che hai proposto?

Prima di tutto grazie per la risposta e per il benvenuto!

Allora scrivo il gradiente di f e mi viene

\(\displaystyle (partial f)/(partial x) = 2y +y sen(x)
\)che sostituito in x_0 da come risultato 3
\(\displaystyle (partial f)/(partial y) = 2x - cos (x)
\)che sostituito in y_0 da come risultato Pi

Uso la formula del gradiente \[ D_{\hat{v}} f\left(x_0,\,y_0\right) = \nabla f \left(x_0,\,y_0\right) \cdot \hat{v} \] =

\(\displaystyle {: ( 3 , 0) :} ( ( 1/sqrt2 ),( 1/sqrt2) ) = 3sqrt2 \)

Riscrivo la matrice senza il codice visto che non viene leggibile: \(\displaystyle (3,0)^T * (1/sqrt2,1/sqrt2) = 3sqrt2 \)

Ammesso che la soluzione sia giusta (cosa di cui dubito) la v cappelletto ( \(\displaystyle hat{v} \) ) la intende come un vettore riga o colonna? Perché immagino che si debba usare o la jacobiana o il vettore gradiente a seconda dei casi.

[claudiodlf1]

"TeM":Ciao claudiodlf, innnanzitutto ben iscritto

Definizione: Sia \(f: A \to \mathbb{R}\), con \(A\) aperto di \(\mathbb{R}^2\), \(\left(x_0,\,y_0\right)\in A\), e sia \(\hat{v}:=\left(v_1,\,v_2\right)\) un versore.
Si dice derivata direzionale di \(f\) rispetto al versore \(\hat{v}\), nel punto \(\left(x_0,\,y_0\right)\), la quantità \[ D_{\hat{v}} f\left(x_0,\,y_0\right) := \lim_{t\to 0} \frac{f\left(x_0+t\,v_1,\,y_0+t\,v_2\right) - f\left(x_0,\,y_0\right)}{t} \] purché tale limite esista finito.

Nota: le derivate di direzioni \(\hat{v}=(1,\,0)\) e \(\hat{v}=(0,\,1)\), essendo speciali, in quanto calcolate rispettivamente lungo l'asse x e lungo l'asse y, prendono il nome di derivate parziali. Il vettore che ha per componenti le derivate parziali di \(f\) in \(\left(x_0,\,y_0\right)\) si dice vettore gradiente di \(f\), calcolato in \(\left(x_0,\,y_0\right)\), e solitamente si indica col simbolo \(\nabla f \left(x_0,\,y_0\right)\).

Teorema: Sia \(f: A \to \mathbb{R}\), con \(A\) aperto di \(\mathbb{R}^2\), \(f\) differenziabile in \(\left(x_0,\,y_0\right)\in A\).
Allora per ogni versore \(\hat{v}:=\left(v_1,\,v_2\right)\) esiste la derivata direzionale \(D_{\hat{v}} f\left(x_0,\,y_0\right)\),
e vale l'identità \[ D_{\hat{v}} f\left(x_0,\,y_0\right) = \nabla f \left(x_0,\,y_0\right) \cdot \hat{v} \] in letteratura nota come formula del gradiente.

Ciò scritto, sapresti svolgere l'esercizio che hai proposto?

Prima di tutto grazie per la risposta e per il benvenuto!

Allora scrivo il gradiente di f e mi viene

\(\displaystyle (partial f)/(partial x) = 2y +y sen(x)
\)che sostituito in x_0 da come risultato 3
\(\displaystyle (partial f)/(partial y) = 2x - cos (x)
\)che sostituito in y_0 da come risultato Pi

Uso la formula del gradiente \[ D_{\hat{v}} f\left(x_0,\,y_0\right) = \nabla f \left(x_0,\,y_0\right) \cdot \hat{v} \] =

\(\displaystyle {: ( 3 , 0) :} ( ( 1/sqrt2 ),( 1/sqrt2) ) = 3sqrt2 \)

Riscrivo la matrice senza il codice visto che non viene leggibile: \(\displaystyle (3,0)^T * (1/sqrt2,1/sqrt2) = 3sqrt2 \)

Ammesso che la soluzione sia giusta (cosa di cui dubito) la v cappelletto ( \(\displaystyle hat{v} \) ) la intende come un vettore riga o colonna? Perché immagino che si debba usare o la jacobiana o il vettore gradiente a seconda dei casi.