Derivata parziale funzione composta
calcolare $frac{\partial h_1}{\partial z} (1,-1,4)$, dove $h=(h_1,h_2)=g*f$ (g composto f)
$f: RRxRRx(0,+\infty) \rightarrow RR$, $f(x,y,z)=x^2y-y^2sqrt(z)+xz$
$g=(g_1,g_2):RR \rightarrow RR^2$, $g in C'(RR^2)$, $g'(1)=((3),(2))$
grazie mille, non so come iniziarlo
$f: RRxRRx(0,+\infty) \rightarrow RR$, $f(x,y,z)=x^2y-y^2sqrt(z)+xz$
$g=(g_1,g_2):RR \rightarrow RR^2$, $g in C'(RR^2)$, $g'(1)=((3),(2))$
grazie mille, non so come iniziarlo
Risposte
Per qualsiasi funzione differenziabile \(u \, \colon U \to \mathbb{R}\) (con \(U \) un sottoinsieme aperto di \(\mathbb{R}^3\)), vale\[\frac{\partial u}{\partial z}(x,y,z) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (u \circ \sigma)(0)\]dove \(\sigma \, \colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to U\) è definita da \(\sigma(t) = (x,y,z+t)\).
Poiché \(h_1 = g_1 \circ f\), abbiamo \[\frac{\partial h_1}{\partial z}(x,y,z) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (g_1 \circ f \circ \sigma)(0)\]Essendo \(g_1\) e \(f \circ \sigma\) entrambe funzioni reali di una sola variabile reale, possiamo applicare il risultato di derivazione di funzione composta nel caso più semplice:\[\frac{\partial h_1}{\partial z}(x,y,z) = g'_1(f \circ \sigma(0)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (f \circ \sigma)(0) = g'_1(f(x,y,z)) \cdot \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\]
Ora dovresti poter concludere.
Poiché \(h_1 = g_1 \circ f\), abbiamo \[\frac{\partial h_1}{\partial z}(x,y,z) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (g_1 \circ f \circ \sigma)(0)\]Essendo \(g_1\) e \(f \circ \sigma\) entrambe funzioni reali di una sola variabile reale, possiamo applicare il risultato di derivazione di funzione composta nel caso più semplice:\[\frac{\partial h_1}{\partial z}(x,y,z) = g'_1(f \circ \sigma(0)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (f \circ \sigma)(0) = g'_1(f(x,y,z)) \cdot \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\]
Ora dovresti poter concludere.
ehm... non so quanto ci ho capito...
Quella che ti ho postato è una soluzione che utilizza soltanto due fatti essenziali
1. Definizione di derivata parziale rispetto a \(z\): \[\frac{\partial u}{\partial z} (x,y,z) = \lim_{t \to 0} \frac{u(x,y,z+t) - u(x,y,z)}{t} = (u \circ \sigma)'(0) \]
2. Derivata classica di una funzione composta : \[(p \circ q)'(t_0) = p'(q(t_0))\,q'(t_0)\]
1. Definizione di derivata parziale rispetto a \(z\): \[\frac{\partial u}{\partial z} (x,y,z) = \lim_{t \to 0} \frac{u(x,y,z+t) - u(x,y,z)}{t} = (u \circ \sigma)'(0) \]
2. Derivata classica di una funzione composta : \[(p \circ q)'(t_0) = p'(q(t_0))\,q'(t_0)\]
In sostanza elvis ti ha messo la dimostrazione della validità della chain rule anche in questi casi insomma \(\displaystyle \frac{\partial h}{\partial z} = \frac{dg}{df}\cdot\frac{\partial f}{\partial z}\) (elvis ha fatto la dimostrazione per la sola \(g_1\), ma la sostanza è questa).
Come elvis non ti metto i calcoli specifici, quelli dovresti riuscire a farli da solo.
Come elvis non ti metto i calcoli specifici, quelli dovresti riuscire a farli da solo.
è giusto così?
calcolo la parziale di f in z
$frac{\partial f}{\partial z}=frac{-y^2}{2sqrt(z)}+x$
poi
$frac{\partial h_1}{\partial z} (1,-1,4)=frac{\partial g_1}{\partial f}(f(1,-1,4))*frac{\partial f}{\partial z}(1,-1,4)=frac{\partial g_1}{\partial f}(1)*frac{\partial f}{\partial z}(1,-1,4)=3*(frac{-1}{4}+1)=9/4$
grazie
calcolo la parziale di f in z
$frac{\partial f}{\partial z}=frac{-y^2}{2sqrt(z)}+x$
poi
$frac{\partial h_1}{\partial z} (1,-1,4)=frac{\partial g_1}{\partial f}(f(1,-1,4))*frac{\partial f}{\partial z}(1,-1,4)=frac{\partial g_1}{\partial f}(1)*frac{\partial f}{\partial z}(1,-1,4)=3*(frac{-1}{4}+1)=9/4$
grazie
No, la derivata di \(g\) è rispetto a \(f\) e non a \(z\).
Cosa dovrei mettere allora?
Il risultato è corretto, è il testo che è sbagliato. Insomma la derivata di \(g_1\) non va fatta rispetto a \(z\).
dopo la modifica è ok?
La derivata non è parziale: g è in una sola variabile. Per il resto è OK.
No, la derivata di g è rispetto a f e non a z.
Cosa intendiamo con derivata di \(g\) rispetto a \(f\)?
"elvis":No, la derivata di g è rispetto a f e non a z.
Cosa intendiamo con derivata di \(g\) rispetto a \(f\)?
Beh, in sostanza essendo \(\displaystyle g\circ f \) si può ritenere che \(\displaystyle f \) sia la “variabile” di \(\displaystyle g \), che è una funzione in una sola variabile. Io sinceramente trovo che il concetto di variabile sia decisamente sopravvalutato. La derivata non riprende dalla variabile, o meglio dal suo nome, ma solo dalla funzione (intesa come una particolare relazione tra un insieme ed un altro). Per certi versi una scrittura tipo \(f(x) = x^2 + \sin x\) ha il significato di \(\displaystyle f = \bullet^2 + \sin \) (dove le operazioni sono fatte nell'algebra delle funzioni definite su un qualche sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) sufficientemente buono)[nota]La funzione \(\displaystyle \bullet^2 = \mathrm{id}\cdot\mathrm{id} \) ovvero la funzione \(\displaystyle x\mapsto x\cdot x = x^2 \).[/nota] o equivalentemente \(\displaystyle \forall x\in \mathrm{dom}(f),\, f(x) = \bullet^2(x) + \sin x \). Insomma \(\displaystyle x \) è solo un simbolo.
Detto questo probabilmente la cosa migliore per questo esercizio è usare la notazione senza variabili, ovvero,
\[ \frac{\partial h_1}{\partial z} (1,-1,4)=g'_1(f(1,-1,4))\cdot \frac{\partial f}{\partial z}(1,-1,4) = g'_1(1)\cdot \frac{\partial f}{\partial z}(1,-1,4) = 3*(\frac{-1}{4}+1) = \frac94 \]
oppure puoi anche usare la notazione \(\displaystyle Dg_1 \) al posto di \(\displaystyle g'_1 \), insomma se piace di più.
"vict85":
Beh, in sostanza essendo g∘f si può ritenere che f sia la “variabile” di g [...]
Questa terminologia mi sembra decisamente infelice: fosse anche solo perché affermare "\(f\) è la variabile di \(g\)", porta indiscutibilmente a pensare che \(g\) dipenda in qualche modo da \(f\), che invece nel nostro contesto è un oggetto definito in modo autonomo. Scrivere la chain rule in questo modo\[\frac{\partial h_1}{\partial z} = \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} f} \frac{\partial f}{\partial z}\]
non è corretto proprio perché \(f\) non può intendersi in nessun modo come variabile di \(g\).
Caso diverso è quello dei cambiamenti di variabile: supponiamo che \(g \, \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, t \mapsto g(t)\) sia una funzione derivabile e che \(s = s(t)\) sia un cambio di variabile, cioè \(t \mapsto s(t)\) è una funzione derivabile \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) con inversa derivabile. In questo contesto, ha senso
1. Affermare che \(s\) è una variabile di \(g\): infatti ad ogni valore di \(s\) corrisponde in modo univoco un valore di \(g\).
2. Parlare di derivata di \(g\) "rispetto ad \(s\)" (intendendo la derivata della funzione \(g \circ s^{-1}\))
3. Scrivere la chain rule\[\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} \, \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} s}\]
Non sono d'accordo. La scrittura \(\displaystyle \frac{dg}{df}\) ha il significato di derivare rispetto ai valori che assume \(f\), il fatto che \(f\) sia una funzione non vuol dire nulla, anche \(x\) è una funzione (seppur sia a seconda dei casi la funzione identità o la proiezione sulla prima componente). Se io scrivo \(f(x) = \log x\) allora so che \(\displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{1}{x} \) indipendentemente da cosa dipenda materialmente \(\displaystyle x \). Se io scopro che \(\displaystyle x \) dipende da 500 variabili, avrò sempre che \(\displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{1}{x} \) perché la derivata dipende solo dai valori che può assumere \(\displaystyle x \). In un certo senso la distinzione tra cosa sia funzione e cosa sia variabile è solo una questione di punto di vista. Per esempio, supponiamo che il rumore che fa un pneumatico sia funzione della velocità dell'autoveicolo (sto ipotizzando, probabilmente ci sono altri fattori come per esempio il terreno) ma non dell'accelerazione. In questo caso la derivata del rumore sulla velocità non dipende dal traffico e dal pilota seppure la velocità dipende certamente da entrambi. O facendo un esempio ancora più stupido, Il modulo della forza peso esercitata da una persona dipende dalla sua massa indipendentemente dal modo in cui la massa sia distribuita tra i vari materiali di cui è composto il corpo umano.
"vict85":
La scrittura dg/df ha il significato di derivare rispetto ai valori che assume f, il fatto che f sia una funzione non vuol dire nulla [...]
Qual è la definizione di dg/df? In che modo g dipende dai valori che assume f?
Ad ogni valore assunto dalla funzione \(\displaystyle f \) la funzione \(\displaystyle g \) associa univocamente un particolare elemento dell'immagine indipendentemente dai valori per cui \(\displaystyle f \) assume quel valore. Insomma stai creando divisioni dove non ce ne sono.
Quello che dico è che è insignificante il nome che dai alla variabile. La derivata dipende solo ed esclusivamente dalla linearità dell'insieme su cui \(\displaystyle g \) è definita e dall'approssimazione lineare di \(\displaystyle g \) nell'intorno di ogni elemento del dominio. In quel caso \(\displaystyle f \) è il nome che è dato agli elementi del dominio, nulla di più.
Comunque la notazione da me proposta è usata comunemente sia in matematica che in fisica, e non vi è alcuna ragione per evitare di usarla essendo piuttosto chiara. Detto questo, la scrittura \(g_1'\), essendo usata nel testo del problema, era probabilmente una scelta migliore.
Quello che dico è che è insignificante il nome che dai alla variabile. La derivata dipende solo ed esclusivamente dalla linearità dell'insieme su cui \(\displaystyle g \) è definita e dall'approssimazione lineare di \(\displaystyle g \) nell'intorno di ogni elemento del dominio. In quel caso \(\displaystyle f \) è il nome che è dato agli elementi del dominio, nulla di più.
Comunque la notazione da me proposta è usata comunemente sia in matematica che in fisica, e non vi è alcuna ragione per evitare di usarla essendo piuttosto chiara. Detto questo, la scrittura \(g_1'\), essendo usata nel testo del problema, era probabilmente una scelta migliore.
Va bene, mi hai convinto. Personalmente, non userei dg/df nel caso in cui f non sia una trasformazione invertibile, ma, a ragion veduta, effettivamente anche il nostro caso rientra nella notazione "algebrica" di Leibniz.
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