Derivata parziale due variabili

[ilamu1]

Buongiorno! Ho un altro problema ... non riesco a determinare se la $ (partial f)/(partial y) $ della funzione esiste nel punto (1,1) .
Calcolando la derivata nel punto ottengo un valore mentre il limite del rapporto incrementale mi va a 0 :S Qualcuno può aiutarmi?

la funzione è: $ log(1+x^2y)/root(3)(x^2+y^2) $
(spero di aver inserito bene!)

[Zero87]

L'ho calcolata la derivata parziale rispetto a $y$ e quello sgorbio che esce fuori vale $(3-2log(2))/(6 \root(3)(2))$ nel punto $(1,1)$ che, comunque, esiste.
Tra l'altro l'esistenza la immaginavo perché è un rapporto tra funzioni derivabili che esiste in $(1,1)$.

Non escludo errori di calcolo, se non passa nessuno stasera posterò anche qualche passaggio e il risultato che mi viene.

[ciampax]

Il risultato della derivata dovrebbe essere quello segnalato da zero. E mi torna anche con la definizione.

[ilamu1]

Grazie! a me non torna con il rapporto incrementale, cioè arrivo ad avere (0-0)/y :s magari ririprovo !!!:)

[ciampax]

Vediamo
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(1,1+h)-f(1,1)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{\log(2+h)}{\sqrt[3]{2+2h+h^2}}-\frac{\log 2}{\sqrt[3]{2}}\right)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{2} \log(2+h)-\sqrt[3]{2+2h+h^2}\log 2}{h\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2+2h+h^2}}=$$
Usando il fatto che $\log(1+t)=t+o(t),\ (1+t)^\alpha=1+\alpha t+o(t)$
$$=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{2}\left(\log 2+\log(1+h/2)\right)-\sqrt[3]{2}\log 2\sqrt[3]{1+h+h^2/2}}{h(\sqrt[3]{2})^2}=\\ \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{2}\left(\log 2+h/2\right)-\sqrt[3]{2}\log 2\left(1+(h+h^2/2)/3\right)}{h(\sqrt[3]{2})^2}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{2}\cdot h/2-\sqrt[3]{2}\log 2\cdot h/3}{h(\sqrt[3]{2})^2}=\\ \lim_{h\to 0}\frac{h\sqrt[3]{2}\left(3-2\log 2\right)}{6h(\sqrt[3]{2})^2}=\frac{3-2\log 2}{6\sqrt[3]{2}}$$