Derivata parziale di una funzione vettoriale
ciao a tutti,
chiedo una conferma:
ho una funzione [tex]f(x) = x[/tex] con immagine su R^n (in questo senso "vettoriale"). devo calcolarne la derivata parziale rispetto ad una generica direzione [tex]x_k[/tex].
se ci ho capito qualcosa sulle derivate con funzioni vettoriali, la derivata parziale della i-esima componente dovrebbe essere:
[tex]\frac {\partial }{\partial x_k} x_i = \delta_{ik}[/tex]
dove [tex]\delta_{ik}[/tex] è la delta di kronecker.
detto in parole: applicare la derivata parziale rispetto a [tex]x_k[/tex] sulla funzione [tex]x[/tex], restituisce un vettore con componenti tutte nulle ad eccezione della componente k-esima che è 1:
[tex]\frac {\partial }{\partial x_k} x = (0, ... 1, ... 0)[/tex]
è giusto quanto ho detto o ho travisato tutto?
non è una domanda retorica: durante l'intero ultimo anno di università, ho derivato funzioni vettoriali avendo questo in mente. tuttavia ora mi ritrovo con un teorema tra le mani che afferma implicitamente che tale derivata dovrebbe restituire un vettore con TUTTE le componenti uguali a 1 o.o
a me la cosa sembra folle... ma vorrei una conferma
grazie in anticipo per le risposte.
chiedo una conferma:
ho una funzione [tex]f(x) = x[/tex] con immagine su R^n (in questo senso "vettoriale"). devo calcolarne la derivata parziale rispetto ad una generica direzione [tex]x_k[/tex].
se ci ho capito qualcosa sulle derivate con funzioni vettoriali, la derivata parziale della i-esima componente dovrebbe essere:
[tex]\frac {\partial }{\partial x_k} x_i = \delta_{ik}[/tex]
dove [tex]\delta_{ik}[/tex] è la delta di kronecker.
detto in parole: applicare la derivata parziale rispetto a [tex]x_k[/tex] sulla funzione [tex]x[/tex], restituisce un vettore con componenti tutte nulle ad eccezione della componente k-esima che è 1:
[tex]\frac {\partial }{\partial x_k} x = (0, ... 1, ... 0)[/tex]
è giusto quanto ho detto o ho travisato tutto?
non è una domanda retorica: durante l'intero ultimo anno di università, ho derivato funzioni vettoriali avendo questo in mente. tuttavia ora mi ritrovo con un teorema tra le mani che afferma implicitamente che tale derivata dovrebbe restituire un vettore con TUTTE le componenti uguali a 1 o.o
a me la cosa sembra folle... ma vorrei una conferma
grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
Non le ho mai sentite chiamare derivate parziali.. piuttosto data una $f:RR->RR^n$,$ul(f)(t)=(x_1,..,x_n)$ il vettore derivato di $ul(f)$ è $(dul(f))/dt = (dx_1/dt,...,dx_n/dt)$. Quindi al massimo puoi parlare di componente i-esima del vettore derivato di $ul(f)$.
Le cose cambiano se $ul(f): RR^m->RR^n$, a quel punto hai la matrice Jacobiana, e non sono molto pratico di terminologia ma, se dovessi chiamare qualcosa una derivata parziale (o direzionale), direi che è la colonna j-esima della matrice (quindi un vettore che ha per componenti le derivate parziali di ogni $f_i(t_1,..,t_m)$ ($i=1,..,n$)).
Quello che dici tu non mi pare vero..
Le cose cambiano se $ul(f): RR^m->RR^n$, a quel punto hai la matrice Jacobiana, e non sono molto pratico di terminologia ma, se dovessi chiamare qualcosa una derivata parziale (o direzionale), direi che è la colonna j-esima della matrice (quindi un vettore che ha per componenti le derivate parziali di ogni $f_i(t_1,..,t_m)$ ($i=1,..,n$)).
Quello che dici tu non mi pare vero..
le derivate parziali esistono... http://it.wikipedia.org/wiki/Derivata_parziale
quel "6" capovolto è il simbolo utilizzato per indicarle...
non l'ho scritto, ma ovviamente hanno senso solo se è il dominio della funzione ad essere R^n. ma dato che la funzione che ho scritto è x, chiaramente dominio e codominio hanno la stessa dimensione.
comunque esistono. su questo non ho alcun dubbio. posso indicarti alcuni testi in cui vengono usate e/o introdotte, ma insomma... basta anche solo dare un'occhiata su google
edit:
la matrice jacobiana è in effetti la matrice che ha per entrate le derivate parziali di ogni componente della funzione.
nel mio caso la funzione è x, quindi la matrice jacobiana dovrebbe essere diagonale ("dovrebbe"... perchè sto appunto chiedendo se lo sia o meno )
quel "6" capovolto è il simbolo utilizzato per indicarle...
non l'ho scritto, ma ovviamente hanno senso solo se è il dominio della funzione ad essere R^n. ma dato che la funzione che ho scritto è x, chiaramente dominio e codominio hanno la stessa dimensione.
comunque esistono. su questo non ho alcun dubbio. posso indicarti alcuni testi in cui vengono usate e/o introdotte, ma insomma... basta anche solo dare un'occhiata su google
edit:
la matrice jacobiana è in effetti la matrice che ha per entrate le derivate parziali di ogni componente della funzione.
nel mio caso la funzione è x, quindi la matrice jacobiana dovrebbe essere diagonale ("dovrebbe"... perchè sto appunto chiedendo se lo sia o meno
)
Guarda che so benissimo cos'è una derivata parziale.. -.-'
Si vede che ho interpretato male il tuo messaggio (anche se non è che fosse proprio il massimo della chiarezza).
Comunque la jacobiana della tua funzione $ul(f) : RR^n -> RR^n$, $ul(f)(ul(x)) = ul(x)$, $ul(f)(x_1,..,x_n) = (x_1, .., x_n)$
è ovviamente la matrice identità, perchè deve avere sulla riga i-esima il gradiente della componente i-esima di $ul(f)$ ovvero $f_i(x_1,...,x_n)=x_i => grad(f_i(x_1,...,x_n))=(0,..,1,...,0)$, dove $1$ è nella posizione $i$.
Spero ora ti sia chiaro.
Si vede che ho interpretato male il tuo messaggio (anche se non è che fosse proprio il massimo della chiarezza).
Comunque la jacobiana della tua funzione $ul(f) : RR^n -> RR^n$, $ul(f)(ul(x)) = ul(x)$, $ul(f)(x_1,..,x_n) = (x_1, .., x_n)$
è ovviamente la matrice identità, perchè deve avere sulla riga i-esima il gradiente della componente i-esima di $ul(f)$ ovvero $f_i(x_1,...,x_n)=x_i => grad(f_i(x_1,...,x_n))=(0,..,1,...,0)$, dove $1$ è nella posizione $i$.
Spero ora ti sia chiaro.
beh, la matrice jacobiana è la matrice delle derivate prime della funzione. in particolare la matrice delle derivate parziali prime...
sei stato tu a dire che non le hai mai sentite chiamare così o.o
comunque ok grazie
quanto ho scritto nel primo messaggio allora è corretto. a questo punto c'è qualcosa nel teorema che non funziona o non colgo io forse un qualche passaggio implicito :\
risolto
sei stato tu a dire che non le hai mai sentite chiamare così o.o
comunque ok grazie
quanto ho scritto nel primo messaggio allora è corretto. a questo punto c'è qualcosa nel teorema che non funziona o non colgo io forse un qualche passaggio implicito :\
risolto
Ti ho detto così perchè credevo chiamassi derivate parziali una cosa che derivata parziale non è.
Se non capisci ancora il teorema linkamelo, magari lo conosco.
Se non capisci ancora il teorema linkamelo, magari lo conosco.
boh, son convinto che o c'è un errore o son proprio io a non capire qualcosa.
è un teorema senza un nome particolare. è il teorema che dimostra che se una forma differenziale definita su un insieme stellato è chiusa, allora è esatta.
la dimostrazione parte usando l'ipotesi che l'insieme sia stellato rispetto all'origine, e quindi la forma differenziale viene integrata lungo una curva (che poi sarebbe una generica retta) passante per l'origine (in particolare la curva [tex]\gamma (t) = tx[/tex]. dove t è ovviamente uno scalare).
a questo punto, si applica la derivata parziale lungo una generica [tex]x_k[/tex] all'integrale. l'operatore (cioè la derivata parziale) passa "sotto il segno di integrale" e va quindi a colpire una funzione composta [tex]a(tx)[/tex] moltiplicata per x:
[tex]\frac {\partial } {\partial x_k} (a_i(tx)x_i)[/tex]
ora per me questo oggetto è uguale a:
[tex]\frac {\partial } {\partial x_k} (a_i(tx)x_i) = (\frac {\partial } {\partial x_k} a_i(tx)) t (\frac {\partial } {\partial x_k} x)x_i + a_i(tx) (\frac {\partial } {\partial x_k} x_i)[/tex]
ora, con quanto chiarito primo, l'ultimo oggetto dovrebbe essere:
[tex]\frac {\partial } {\partial x_k} (a_i(tx)x_i) = (\frac {\partial } {\partial x_k} a_i(tx)) t \delta_{ik}x_i + a_i(tx) \delta_{ik})[/tex]
secondo il libro invece, il primo termine a secondo membro non ha il delta di kronecker, e quindi si "salvano" anche i termini diversi dal k-esimo: non vengono annullati.
dove sbaglio? :\
edit:
perchè non vedo le formule in latex? o.o
ariedit:
colpa mia
è un teorema senza un nome particolare. è il teorema che dimostra che se una forma differenziale definita su un insieme stellato è chiusa, allora è esatta.
la dimostrazione parte usando l'ipotesi che l'insieme sia stellato rispetto all'origine, e quindi la forma differenziale viene integrata lungo una curva (che poi sarebbe una generica retta) passante per l'origine (in particolare la curva [tex]\gamma (t) = tx[/tex]. dove t è ovviamente uno scalare).
a questo punto, si applica la derivata parziale lungo una generica [tex]x_k[/tex] all'integrale. l'operatore (cioè la derivata parziale) passa "sotto il segno di integrale" e va quindi a colpire una funzione composta [tex]a(tx)[/tex] moltiplicata per x:
[tex]\frac {\partial } {\partial x_k} (a_i(tx)x_i)[/tex]
ora per me questo oggetto è uguale a:
[tex]\frac {\partial } {\partial x_k} (a_i(tx)x_i) = (\frac {\partial } {\partial x_k} a_i(tx)) t (\frac {\partial } {\partial x_k} x)x_i + a_i(tx) (\frac {\partial } {\partial x_k} x_i)[/tex]
ora, con quanto chiarito primo, l'ultimo oggetto dovrebbe essere:
[tex]\frac {\partial } {\partial x_k} (a_i(tx)x_i) = (\frac {\partial } {\partial x_k} a_i(tx)) t \delta_{ik}x_i + a_i(tx) \delta_{ik})[/tex]
secondo il libro invece, il primo termine a secondo membro non ha il delta di kronecker, e quindi si "salvano" anche i termini diversi dal k-esimo: non vengono annullati.
dove sbaglio? :\
edit:
perchè non vedo le formule in latex? o.o
ariedit:
colpa mia
Non ho ancora studiato le forme differenziali, in ogni caso se cerchi di scrivere meglio la funzione che devi derivare (senza offesa ma non si capisce granchè), penso proprio di poterti aiutare.
Scrivimi insieme di arrivo e di partenza, e varie funzioni di cui è composta.
Scrivimi insieme di arrivo e di partenza, e varie funzioni di cui è composta.
pardon! allora:
funzione composta:
[tex]a(f(t)) = a(tx): R -> R^n[/tex]
e poi la funzione x che ovviamente:
[tex]x: R^n -> R^n[/tex]
a e x sono quindi due vettori di R^n. il loro prodotto scalare:
[tex]a(tx) x = \sum a_i(tx)x_i[/tex]
la derivata parziale (lungo l'asse k-esimo generico) di questo prodotto scalare è la somma delle derivate parziali dei prodotti.
[tex]\frac {\partial } {\partial x_k} (a(tx) x) = \frac {\partial } {\partial x_k} (\sum a_i(tx)x_i) = \sum \frac {\partial } {\partial x_k} (a_i(tx)x_i)[/tex]
quindi l'i-esimo termine è:
[tex]\frac {\partial } {\partial x_k} (a_i(tx)x_i)[/tex]
quanto vale esplicitamente questo termine? cioè è uguale a...?
non lo so! o meglio... il libro dice una cosa, io ne sostengo un'altra (anche sulla base di quanto chiarito in questo stesso thread nei primi messaggi)
funzione composta:
[tex]a(f(t)) = a(tx): R -> R^n[/tex]
e poi la funzione x che ovviamente:
[tex]x: R^n -> R^n[/tex]
a e x sono quindi due vettori di R^n. il loro prodotto scalare:
[tex]a(tx) x = \sum a_i(tx)x_i[/tex]
la derivata parziale (lungo l'asse k-esimo generico) di questo prodotto scalare è la somma delle derivate parziali dei prodotti.
[tex]\frac {\partial } {\partial x_k} (a(tx) x) = \frac {\partial } {\partial x_k} (\sum a_i(tx)x_i) = \sum \frac {\partial } {\partial x_k} (a_i(tx)x_i)[/tex]
quindi l'i-esimo termine è:
[tex]\frac {\partial } {\partial x_k} (a_i(tx)x_i)[/tex]
quanto vale esplicitamente questo termine? cioè è uguale a...?
non lo so! o meglio... il libro dice una cosa, io ne sostengo un'altra (anche sulla base di quanto chiarito in questo stesso thread nei primi messaggi)
Ancora non mi è chiaro, la funzione $a: RR -> RR^n$ associa allo scalare $t$ che cosa? E non capisco che significa $a(t)=a(tx)$.
a è generica.
nelle forme differenziali, a va da R^n a R^n. se prendiamo però una curva su R^n (e ovviamente per essere una curva, ha dominio R) e integriamo la forma differenziale lungo questa curva, a ha ancora chiaramente dominio in R^n, solo che il dominio su cui lavori è una curva. e quindi: [tex]a = a(t) : R->R^n[/tex]
con questa scrittura intendo dire che "a è una funzione di t, ed è quindi una funzione che ha dominio scalare e codominio vettoriale".
è una funzione del tutto generica però, anche perchè appunto è usata dentro un teorema che deve valere per forme differenziali (e quindi per funzioni a) generiche.
a è semplicemente una generica funzione a valori vettoriali.
ora tx è la retta passante per l'origine che, attenzione, ha x come "coefficiente angolare" e t come ascissa (la variabile è t insomma). lo puoi vedere anche come un segmento che ha un vertice in x e l'altro nell'origine. facendo variare t, "costruisci" il segmento.
infine la scrittura [tex]a(t) = a(tx)[/tex] voleva significare: "a è una funzione di t che, scritta esplicitamente ha la forma a(tx)"
nelle forme differenziali, a va da R^n a R^n. se prendiamo però una curva su R^n (e ovviamente per essere una curva, ha dominio R) e integriamo la forma differenziale lungo questa curva, a ha ancora chiaramente dominio in R^n, solo che il dominio su cui lavori è una curva. e quindi: [tex]a = a(t) : R->R^n[/tex]
con questa scrittura intendo dire che "a è una funzione di t, ed è quindi una funzione che ha dominio scalare e codominio vettoriale".
è una funzione del tutto generica però, anche perchè appunto è usata dentro un teorema che deve valere per forme differenziali (e quindi per funzioni a) generiche.
a è semplicemente una generica funzione a valori vettoriali.
ora tx è la retta passante per l'origine che, attenzione, ha x come "coefficiente angolare" e t come ascissa (la variabile è t insomma). lo puoi vedere anche come un segmento che ha un vertice in x e l'altro nell'origine. facendo variare t, "costruisci" il segmento.
infine la scrittura [tex]a(t) = a(tx)[/tex] voleva significare: "a è una funzione di t che, scritta esplicitamente ha la forma a(tx)"
Penso di aver capito, ma c'è ancora una cosa che non mi è chiara, se hai la funzione $ul(a)$ funzione degli scalari $t$ e una funzione $ul(b)$ funzione dei vettori $ul(x) in RR^n$, se poi consideri $ul(a)*ul(b)$ ottieni una $f(t,ul(x))$, tra l'altro a valori in $RR$; ho capito male oppure è questo che devi derivare?
uhm... oddio questo punto di vista mi spiazza un attimo :\
uhm... diciamo che a occhio ha più o meno senso, quindi si,è una f(t,x).
a parte questo, la conclusione è corretta: devo derivare quel prodotto scalare. cioè devo derivare ogni termine della sommatoria che ne vien fuori
uhm... diciamo che a occhio ha più o meno senso, quindi si,è una f(t,x).
a parte questo, la conclusione è corretta: devo derivare quel prodotto scalare. cioè devo derivare ogni termine della sommatoria che ne vien fuori
Ziel attento ad usare bene la chain rule! Poniamo per semplicità $y_k=tx_k$ e quindi $y=tx$: allora quando derivi ottieni
[tex]$\frac{\partial [a_i(y) x_i]}{\partial x^k}=a_i(y)\cdot\frac{\partial x_i}{\partial x_k}+x_i\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial a_i(y)}{\partial y_j}\cdot\frac{\partial y_j}{\partial x_k}=a_i(y)\cdot\delta_{ik}+x_i\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial a_i(y)}{\partial y_j}\cdot t\delta_{jk}=a_i(y)\cdot\delta_{ik}+tx_i\cdot\frac{\partial a_i(y)}{\partial y_k}$[/tex]
[tex]$\frac{\partial [a_i(y) x_i]}{\partial x^k}=a_i(y)\cdot\frac{\partial x_i}{\partial x_k}+x_i\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial a_i(y)}{\partial y_j}\cdot\frac{\partial y_j}{\partial x_k}=a_i(y)\cdot\delta_{ik}+x_i\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial a_i(y)}{\partial y_j}\cdot t\delta_{jk}=a_i(y)\cdot\delta_{ik}+tx_i\cdot\frac{\partial a_i(y)}{\partial y_k}$[/tex]
ah ecco. per un attimo mi era passato in testa infatti che potesse c'entrare la chain rule
comunque quanto hai scritto non mi quadra del tutto... io so che:
[tex]\frac{\partial}{\partial v}g(f(t)) = \nabla g(f(t)) \partial{f(t)}{v}[/tex]
detto a parole: la derivata direzionale lungo v di una funzione composta è uguale al gradiente delle stessa moltiplicato per la derivata direzionale "del suo argomento" lungo v.
applicando questo quindi, al mio problema, ho:
[tex]\frac{\partial [a_i(tx)x_i]}{\partial x_k} = \nabla{[a_i(tx)]} \frac{\partial [tx]}{\partial x_k}x_i + a_i(tx)\frac{\partial x_i}{\partial x_k} = \sum_j [\frac{\partial [a_i(tx)]}{\partial x_j} t \frac{\partial x}{\partial x_k}]x_i + a_i(tx)\delta_{ik} =[/tex]
[tex]= \sum_j [\frac{\partial [a_i(tx)]}{\partial x_j} t\delta_{jk}]x_i + a_i(tx)\delta_{ik} = \frac{\partial [a_i(tx)]}{\partial x_k} tx_i + a_i(tx)\delta_{ik}[/tex]
che è esattamente quel che ho sul libro.
se seguo quel che tu hai scritto, mi si semplifica la t nel temine in cui c'è la derivata della funzione composta (nell'espressione che hai scritto tu, è l'ultimo termine).
ps: che noia latex :\
comunque quanto hai scritto non mi quadra del tutto... io so che:
[tex]\frac{\partial}{\partial v}g(f(t)) = \nabla g(f(t)) \partial{f(t)}{v}[/tex]
detto a parole: la derivata direzionale lungo v di una funzione composta è uguale al gradiente delle stessa moltiplicato per la derivata direzionale "del suo argomento" lungo v.
applicando questo quindi, al mio problema, ho:
[tex]\frac{\partial [a_i(tx)x_i]}{\partial x_k} = \nabla{[a_i(tx)]} \frac{\partial [tx]}{\partial x_k}x_i + a_i(tx)\frac{\partial x_i}{\partial x_k} = \sum_j [\frac{\partial [a_i(tx)]}{\partial x_j} t \frac{\partial x}{\partial x_k}]x_i + a_i(tx)\delta_{ik} =[/tex]
[tex]= \sum_j [\frac{\partial [a_i(tx)]}{\partial x_j} t\delta_{jk}]x_i + a_i(tx)\delta_{ik} = \frac{\partial [a_i(tx)]}{\partial x_k} tx_i + a_i(tx)\delta_{ik}[/tex]
che è esattamente quel che ho sul libro.
se seguo quel che tu hai scritto, mi si semplifica la t nel temine in cui c'è la derivata della funzione composta (nell'espressione che hai scritto tu, è l'ultimo termine).
ps: che noia latex :\
No, non ti si semplifica niente: infatti la derivata rispetto alle $y$ che ho scritto è solo simbolica, puoi benissimo sostituire $y_k$ con $x_k$. Infatti stai solo considerando la derivata rispetto alla componente $k$-ima.
o.o?
boh, io con quella scrittura capisco che posso sostituire a [tex]y_k = tx_k[/tex] ovunque o.o
e quindi anche nella derivata parziale.
comunque quel che conta è che ho compreso l'errore e che, applicando la chain rule "come da manuale", giungo al giusto risultato
grazie mille
boh, io con quella scrittura capisco che posso sostituire a [tex]y_k = tx_k[/tex] ovunque o.o
e quindi anche nella derivata parziale.
comunque quel che conta è che ho compreso l'errore e che, applicando la chain rule "come da manuale", giungo al giusto risultato
grazie mille
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