Derivata parziale di funzione a valori vettoriali

[Dalfi1]

Salve ragazzi, parlando dell'equazione di Laplace e del principio di sovrapposizione valido per le sue soluzioni, mi sono imbattuto nel seguente esercizio riguardante la proprietà della traccia di una matrice di essere invariante per trasformazioni ortogonali, in particolar modo, definita

$ u_o(x):=u(Ox) $ $forall O$ matrice ortogonale
Dimostrare che se $u$ è soluzione del problema di Laplace, allora lo è anche $u_o$

Per dimostrarlo, ho pensato di usare la regola della catena, ma mi sono bloccato quasi subito. Infatti, derivando una prima volta parzialmente rispetto a $x_i$ ottengo:

$ (partial u_o)/(partial x^i)(x)= u_(x_i)(Ox)*((partialO)/(partialx^i)x+O(partialx)/(partial x^i))=u_(x_i)(Ox)*Oe_i $

Ammesso di non aver sbagliato niente, non saprei come procedere andando a derivare parzialmente una seconda volta.
(L'idea è quella di derivare due volte rispetto a $x_i$ e poi andare a sommare su $i$).
Sapreste darmi qualche dritta gentilmente?

[dissonance]

Per questo tipo di conti ti conviene usare una notazione di "cambio di variabile": poni
\[
y=Ox,\ u_o(x)=u(y), \]
cosicché puoi scrivere
\[
\frac{\partial u_o}{\partial x_j}=\frac{\partial u}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial x_j}=\frac{\partial u}{\partial y_k}O_{kj}.
\]
Ripetendo il conto puoi calcolare le derivate seconde di \(u_o\) e se lo hai fatto bene dovresti accorgerti che sommando sull'indice libero compare il prodotto di matrici \(O^TO\), che è uguale alla matrice identica.

[Dalfi1]

Grazie mille, ora è più chiaro