Derivata parziale con radice e nepero

[giordino]

Ciao a tutti volevo chiedervi come posso trovare la derivata 1a parziale rispetto a y di questa funzione
$f: (x,y)=root(3)(1-e^{xy})$
per prima cosa ho trasformato la radice:$(1-e^{xy})^{1/3}$
poi se fosse stata una derivata normale avrei fatto (credo) questo passaggio $1/3(1-e^{xy})^{-2/3}$
e quindi $(1-e^{xy})/(3*root(3)(1-e^{xy})^{2})
Ma se è parziale rispetto a y cambia sicuramente (anche perchè ho il risultato ) se volete dopo lo posto

Grazie x l'auito ciao!

[Alexp1]

Nelle derivate parziali, devi tenere in considerazione solo la variabile di interesse, l'altra devi considerarla come una costante perciò se la tua funzione è $f: (x,y)=root(3)(1-e^{xy})$ e devi calcolarti la derivata parziale rispetto la variabile $y$, devi considerare la $x$ come se fosse una costante (un qualsiasi valore fissato)...

perciò diventa: $f_y(x,y)=1/3(-xe^(xy))/(root(3)(1-e^(xy))^2$

[giordino]

mm ok però allora perchè al numeratore ho $-xe^{xy}$?
Il tuo risultato è corretto però volevo capire meglio i passaggi...1 se ne va perchè è una costante però non ho ben capito come si deriva la $e$ (ho 1 po' di lacune in mate perchè alle superiori non ho fatto esponenziali e logaritmi e adesso le sto pagando tutte... )

[Injo]

Il $\root(3)(1-e^{xy})$ lo vedi come una funzione composta nella variabile $y$. Ricordando la formula delle derivate composte $D(f(g(y))) = f'(g(y))*g'(y)$ puoi considerare $f(t)=\root(3)(t)$ e $g(y)=1-e^{xy}$. Ora applicando la formula trovi proprio quello che cercavi.

[giordino]

scusa l'ignoranza ma tu cosa intendi per $t$? E come derivo $g(y)$? (so che ci sarà Nepero che si rivolta nella tomba però non sono molto ferrato...) Grazie x la pazienza

[Injo]

$t$ è una variabile qualsiasi che nel tuo caso vale $1-e^{xy}$. Per derivare $1-e^{xy}$ semplicemente consideri $D(1-e^{xy}) = D(1)-D(e^{xy}) = -D(e^{xy})$. Ora, la regola generale per la derivazione dell'esponenziale è $D(e^{\alpha x}) = \alpha e^{\alpha x}$ dove $x$ è la variabile secondo la quale stiamo derivando e $\alpha$ è una costante qualsiasi. Nel tuo caso $x$ è costante e $y$ la variabile quindi $D(e^{xy})=xe^{xy}$. Quindi hai trovato la derivata della prima funzione. Ora devi comporre questo risultato col resto. Ovvero tu hai $\root(3)(1-e^{xy})$. Se consideri $t=1-e^{xy}$ ottieni $\root(3)(t)$ e puoi applicare la formula delle derivate delle funzioni composte che ti ho scritto nel post precedente. Non so, forse ti può chiarire le idee questo tipo di notazione:

$D(\root(3)(1-e^{xy})) = \frac{d\root(3)(t)}{dt} * \frac{dt}{dy} =\frac{d\root(3)(t)}{dt} * \frac{d(1-e^{xy})}{dy} $

[giordino]

ok grazie 1000 adesso ci sono! Ciao!