Derivata parziale con cambiamento di coordinate
Ciao a tutti, sto studiando gli integrali di superficie e mi sono arenato su un passaggio di calcolo differenziale che spero riusciate a chiarirmi.
Un integrale di superficie si presenta di solito nella forma seguente: \(\displaystyle\int_{\Sigma }^{ }f(r(\mathbf{s}))d\sigma \), con \(\displaystyle \mathbf{s}=\binom{s_{1}}{s_{2}}\in \Omega, \Omega\subseteq \mathbb{R}^{2}, r:\Omega\to \mathbb{R}^{3} \) e \(\displaystyle d\sigma=\left \| r_{s_{1}} \wedge r_{s_{2}}\right \|dxdy \) (indico con \(\displaystyle \wedge \) il prodotto vettoriale, e con \(\displaystyle r_{s_{1}} \) e \(\displaystyle r_{s_{2}} \) le due colonne dello Jacobiano di \(\displaystyle r \)).
Suppongo di essere in possesso di un cambiamento di coordinate \(\displaystyle T:\mathbb{R}^{2}\supseteq E\to\Omega, \binom{p_{1}}{p_{2}}=\mathbf{p} \mapsto T (\mathbf{p}), \mathbf{} \) con \(\displaystyle \mathbf{s}=T(\mathbf{p}) \).
Per calcolare l'integrale posso sviluppare\( \displaystyle\int_{\Sigma }^{ }f(r(\mathbf{s}))\left \| r_{s_{1}} \wedge r_{s_{2}}\right \| dxdy \) per poi effettuare la sostituzione \( \displaystyle \mathbf{s}=T(\mathbf{p}) \).
La mia domanda è la seguente: se dovessi effettuare la sostituzione prima di effettuare le derivazioni necessarie per ottenere \( \displaystyle d\sigma=\left \| r_{s_{1}} \wedge r_{s_{2}}\right \| dxdy\) come cambierebbe l'integrale? Cioè, che relazione c'è tra \( \displaystyle \left \| r_{s_{1}}(\mathbf{s}) \wedge r_{s_{2}}(\mathbf{s})\right \| \) e \( \displaystyle \left \| r_{s_{1}}(T(\mathbf{s})) \wedge r_{s_{2}}(T(\mathbf{s}))\right \| \)?
Posso cioè ricavare in qualche modo \( \displaystyle \left \| r_{s_{1}}(\mathbf{s}) \wedge r_{s_{2}}(\mathbf{s})\right \| \) ponendo prima \(\displaystyle r(\mathbf{s})=r(T(\mathbf{s}))=r(\mathbf{p})\) e poi andando ad eseguire le operazioni di derivazione rispetto a \(\displaystyle p_{1} \) e \(\displaystyle p_{2} \) invece che rispetto a \(\displaystyle s_{1} \) e \(\displaystyle s_{2} \)?
Spero di avere esposto in maniera comprensibile il mio problema, ringrazio in anticipo per l'aiuto!
Un integrale di superficie si presenta di solito nella forma seguente: \(\displaystyle\int_{\Sigma }^{ }f(r(\mathbf{s}))d\sigma \), con \(\displaystyle \mathbf{s}=\binom{s_{1}}{s_{2}}\in \Omega, \Omega\subseteq \mathbb{R}^{2}, r:\Omega\to \mathbb{R}^{3} \) e \(\displaystyle d\sigma=\left \| r_{s_{1}} \wedge r_{s_{2}}\right \|dxdy \) (indico con \(\displaystyle \wedge \) il prodotto vettoriale, e con \(\displaystyle r_{s_{1}} \) e \(\displaystyle r_{s_{2}} \) le due colonne dello Jacobiano di \(\displaystyle r \)).
Suppongo di essere in possesso di un cambiamento di coordinate \(\displaystyle T:\mathbb{R}^{2}\supseteq E\to\Omega, \binom{p_{1}}{p_{2}}=\mathbf{p} \mapsto T (\mathbf{p}), \mathbf{} \) con \(\displaystyle \mathbf{s}=T(\mathbf{p}) \).
Per calcolare l'integrale posso sviluppare\( \displaystyle\int_{\Sigma }^{ }f(r(\mathbf{s}))\left \| r_{s_{1}} \wedge r_{s_{2}}\right \| dxdy \) per poi effettuare la sostituzione \( \displaystyle \mathbf{s}=T(\mathbf{p}) \).
La mia domanda è la seguente: se dovessi effettuare la sostituzione prima di effettuare le derivazioni necessarie per ottenere \( \displaystyle d\sigma=\left \| r_{s_{1}} \wedge r_{s_{2}}\right \| dxdy\) come cambierebbe l'integrale? Cioè, che relazione c'è tra \( \displaystyle \left \| r_{s_{1}}(\mathbf{s}) \wedge r_{s_{2}}(\mathbf{s})\right \| \) e \( \displaystyle \left \| r_{s_{1}}(T(\mathbf{s})) \wedge r_{s_{2}}(T(\mathbf{s}))\right \| \)?
Posso cioè ricavare in qualche modo \( \displaystyle \left \| r_{s_{1}}(\mathbf{s}) \wedge r_{s_{2}}(\mathbf{s})\right \| \) ponendo prima \(\displaystyle r(\mathbf{s})=r(T(\mathbf{s}))=r(\mathbf{p})\) e poi andando ad eseguire le operazioni di derivazione rispetto a \(\displaystyle p_{1} \) e \(\displaystyle p_{2} \) invece che rispetto a \(\displaystyle s_{1} \) e \(\displaystyle s_{2} \)?
Spero di avere esposto in maniera comprensibile il mio problema, ringrazio in anticipo per l'aiuto!
Risposte
$\Sigma$ è diventato $\Omega$ o sbaglio? Ed è sconsigliabile scegliere $f$ completamente a caso.
regola della catena. E' molto istruttivo determinare quale sia il differenziale totale del determinante.
La mia domanda è la seguente:
regola della catena. E' molto istruttivo determinare quale sia il differenziale totale del determinante.
Grazie mille, ho utilizzato la regola dello jacobiano di funzioni composte (ti riferivi a quello con regola della catena?)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo