Derivata parziale
Buon giorno a tutti!!!!!!!!
Potreste spiegarmi cosa indica la derivata parziale sul grafico di una funzione??
E il gradiente che è il vettore le cui componenti sono le derivate parziali (se esistono) cosa indica dal punto di vista pratico??
Grazie in anticipo.
Potreste spiegarmi cosa indica la derivata parziale sul grafico di una funzione??
E il gradiente che è il vettore le cui componenti sono le derivate parziali (se esistono) cosa indica dal punto di vista pratico??
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao,
1)la derivata parziale, non è altro che la derivata "classica", però lungo la direzione dell'asse della variabile in questione....è una derivata direzionale, cioè lungo una direzione del dominio.
Per le funzioni di una variabile $f(x)$ l'unica direzione consentita, per spostarsi, è quella dell'asse $x$.....in una funzione di più variabili, invece le direzioni lungo cui spostarsi sono infinite, le derivate parziali sono alcune delle direzioni possibili...dal punto di vista geometrico sono identiche, come ti dicevo sopra, alla derivata classica, ossia fornisce il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione lungo quella direzione.
2)il gradiente è il vettore che indica la direzione di massimo incremento della funzione, ossia detta in altre parole, è la direzione lungo la quale la derivata direzionale avrà valore maggiore.
Spero di averti reso l'idea!
1)la derivata parziale, non è altro che la derivata "classica", però lungo la direzione dell'asse della variabile in questione....è una derivata direzionale, cioè lungo una direzione del dominio.
Per le funzioni di una variabile $f(x)$ l'unica direzione consentita, per spostarsi, è quella dell'asse $x$.....in una funzione di più variabili, invece le direzioni lungo cui spostarsi sono infinite, le derivate parziali sono alcune delle direzioni possibili...dal punto di vista geometrico sono identiche, come ti dicevo sopra, alla derivata classica, ossia fornisce il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione lungo quella direzione.
2)il gradiente è il vettore che indica la direzione di massimo incremento della funzione, ossia detta in altre parole, è la direzione lungo la quale la derivata direzionale avrà valore maggiore.
Spero di averti reso l'idea!
ad esempio nel caso $f(x,y)=x^2+y^2$ (paraboloide) le derivate parziali sono $f_x =2x$ e $f_y =2y$ che mi danno rispettivamente il coefficiente lungo l'asse x e l'ungo l'asse y ma in pratica come faccio a disegnare le rette tangenti nel grafico??
Allora,
fai esattamente come per le funzioni ad una variabile...ossia ipotiziamo che tu voglia calcolare le rette tangenti lungo l'asse delle $x$ e lungo l'asse delle $y$, nel punto $(1,1,2)$, quindi considerando il tuo paraboloide $z=x^2+y^2$, otteniamo che la derivata parziale lungo l'asse $x$ è $2x$ e lungo l'asse $y$ è $2y$...quindi nel punto scelto danno come valore $f_x=2$ e $f_y=2$.
Ora la tua retta tangente lungo la direzione dell'asse $x$ è $z-2=2(x-1)$, come vedi in questo caso la variabile $y$ non figura più, mentre lungo l'asse $y$ è $z-2=2(y-1)$, qui non figura più la variabile $x$.
Comunque poi le derivate parziali servono principalmente per costruire il piano tangente, sempre che la funzione sia differenziabile e lo permetta.
fai esattamente come per le funzioni ad una variabile...ossia ipotiziamo che tu voglia calcolare le rette tangenti lungo l'asse delle $x$ e lungo l'asse delle $y$, nel punto $(1,1,2)$, quindi considerando il tuo paraboloide $z=x^2+y^2$, otteniamo che la derivata parziale lungo l'asse $x$ è $2x$ e lungo l'asse $y$ è $2y$...quindi nel punto scelto danno come valore $f_x=2$ e $f_y=2$.
Ora la tua retta tangente lungo la direzione dell'asse $x$ è $z-2=2(x-1)$, come vedi in questo caso la variabile $y$ non figura più, mentre lungo l'asse $y$ è $z-2=2(y-1)$, qui non figura più la variabile $x$.
Comunque poi le derivate parziali servono principalmente per costruire il piano tangente, sempre che la funzione sia differenziabile e lo permetta.
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