Derivata parte intera
dovrei calcolare la derivata prima di $te^(-[t])$ dove $[t]$ è la parte intera di $t$.la funzione parte intera di $t$ non è continua ma bensì semi-continua o continua a tratti.
Risposte
A parte gli scherzi, ma la derivata in che senso? In senso classico è facile: la derivata della parte intera è nulla quasi ovunque.
"dissonance":
A parte gli scherzi, ma la derivata in che senso? In senso classico è facile: la derivata della parte intera è nulla quasi ovunque.
be si la derivata in senso classico.mi spiego meglio.devo calcolarmi il seguente integrale $int_(-2)^2 te^(-[t])*phi^{\prime}(t)dt$ e lo calcolo per parti.allora devo calcolarmi la derivata prima
Allora ti serve la derivata distribuzionale. La derivata distribuzionale di $[t]$ è una somma di delta di Dirac unitarie, una per ciascun numero intero.
"dissonance":
Allora ti serve la derivata distribuzionale. La derivata distribuzionale di $[t]$ è una somma di delta di Dirac unitarie, una per ciascun numero intero.
wow.hai centrato esattamente tramite un integrale l'argomento che sto studiando ma non capisco esattamente cosa hai detto
Te lo scrivo in formule: $([t])'=sum_{n \in ZZ} delta(t-n)$.
Più chiaro?
Più chiaro?
"dissonance":
Te lo scrivo in formule: $([t])'=sum_{n \in ZZ} delta(t-n)$.
Più chiaro?
buz
ma sbaglio o quella formula che hai scritto non è altro che la definizione di traslata di una distribuzione?
allora mi sono scartabellato un bel pò di libri e finalmente ho trovato la derivata nel senso delle distribuzioni della parte intera di $[t]$.be dopo una mezzora finalmente ho capito cosa come si ottiene quel risultato.se interessa a qualcuno lo posto per intero
@mazzy89: Facciamo un grafico della funzione parte intera:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("");
stroke="red";
plot("0",0,1); plot("1",1,2);plot("2",2,3);plot("3",3,4);plot("-1",-1,0);plot("-2",-2,-1);plot("-3",-3,-2);plot("-4",-4,-3);[/asvg]
e notiamo che la funzione [tex]$[t]$[/tex] si rappresenta come somma di infinite porte di ampiezza intera come segue:
[tex]$[t]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ [\text{u}(t-n)-\text{u}(t-n-1) ]$[/tex]
(in cui [tex]$\text{u}(t)$[/tex] è il gradino unitario); come ben sai la derivazione nel senso delle distribuzioni di una serie si può sempre fare termine a termine, quindi:
[tex]$\text{D} [t]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ \text{D} [\text{u}(t-n)-\text{u}(t-n-1)] $[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ [ \text{D} \text{u}(t-n)- \text{D} \text{u}(t-n-1) ] $[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ [ \delta (t-n)-\delta (t-n-1) ]$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ \delta(t-n)- \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (n-1)\ \delta (t-n) \}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-n)$[/tex],
come diceva dissonance.
Un altro metodo per ricavare questa espressione è ricordare che ad ogni salto di una distribuzione-funzione corrisponde nella derivata distribuzionale una [tex]$\delta$[/tex] di ampiezza uguale al salto.
Tornando all'esercizio... Un modo corretto per calcolare la derivata distribuzionale di [tex]$e^{[t]}$[/tex] è notare che:
[tex]$e^{[t]}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^n [\text{u}(t-n)-\text{u}(t-n-1)]$[/tex],
quindi:
[tex]$\text{D} e^{[t]}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^n [\delta (t-n)-\delta (t-n-1)]$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^n \delta (t-n)-\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^n \delta (t-n-1)]$[/tex]
[tex]$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^n \delta (t-n)- \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{n-1}\delta (t-n)$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (e^n-e^{n-1})\ \delta (t-n)$[/tex].
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("");
stroke="red";
plot("0",0,1); plot("1",1,2);plot("2",2,3);plot("3",3,4);plot("-1",-1,0);plot("-2",-2,-1);plot("-3",-3,-2);plot("-4",-4,-3);[/asvg]
e notiamo che la funzione [tex]$[t]$[/tex] si rappresenta come somma di infinite porte di ampiezza intera come segue:
[tex]$[t]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ [\text{u}(t-n)-\text{u}(t-n-1) ]$[/tex]
(in cui [tex]$\text{u}(t)$[/tex] è il gradino unitario); come ben sai la derivazione nel senso delle distribuzioni di una serie si può sempre fare termine a termine, quindi:
[tex]$\text{D} [t]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ \text{D} [\text{u}(t-n)-\text{u}(t-n-1)] $[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ [ \text{D} \text{u}(t-n)- \text{D} \text{u}(t-n-1) ] $[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ [ \delta (t-n)-\delta (t-n-1) ]$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ \delta(t-n)- \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (n-1)\ \delta (t-n) \}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-n)$[/tex],
come diceva dissonance.
Un altro metodo per ricavare questa espressione è ricordare che ad ogni salto di una distribuzione-funzione corrisponde nella derivata distribuzionale una [tex]$\delta$[/tex] di ampiezza uguale al salto.
Tornando all'esercizio... Un modo corretto per calcolare la derivata distribuzionale di [tex]$e^{[t]}$[/tex] è notare che:
[tex]$e^{[t]}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^n [\text{u}(t-n)-\text{u}(t-n-1)]$[/tex],
quindi:
[tex]$\text{D} e^{[t]}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^n [\delta (t-n)-\delta (t-n-1)]$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^n \delta (t-n)-\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^n \delta (t-n-1)]$[/tex]
[tex]$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^n \delta (t-n)- \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{n-1}\delta (t-n)$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (e^n-e^{n-1})\ \delta (t-n)$[/tex].
"gugo82":
@mazzy89: Facciamo un grafico della funzione parte intera:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("");
stroke="red";
plot("0",0,1); plot("1",1,2);plot("2",2,3);plot("3",3,4);plot("-1",-1,0);plot("-2",-2,-1);plot("-3",-3,-2);plot("-4",-4,-3);[/asvg]
e notiamo che la funzione [tex]$[t]$[/tex] si rappresenta come somma di infinite porte di ampiezza intera come segue:
[tex]$[t]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ [\text{u}(t-n)-\text{u}(t-n-1) ]$[/tex]
(in cui [tex]$\text{u}(t)$[/tex] è il gradino unitario); come ben sai la derivazione nel senso delle distribuzioni di una serie si può sempre fare termine a termine, quindi:
[tex]$\text{D} [t]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ \text{D} [\text{u}(t-n)-\text{u}(t-n-1)] $[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ [ \text{D} \text{u}(t-n)- \text{D} \text{u}(t-n-1) ] $[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ [ \delta (t-n)-\delta (t-n-1) ]$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\ \delta(t-n)- \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (n-1)\ \delta (t-n) \}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-n)$[/tex],
come diceva dissonance.
Un altro metodo per ricavare questa espressione è ricordare che ad ogni salto di una distribuzione-funzione corrisponde nella derivata distribuzionale una [tex]$\delta$[/tex] di ampiezza uguale al salto.
ti ringrazio tanto gugo per l'aiuto.ho visto in un libro che il risultato viene ottenuto dal secondo metodo che tu hai nominato.
ovviamente gugo la situazione non cambia se c'ho ad elevare $-[t]$ ed a moltiplicare $t$ giusto?
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