Derivata ostica
Un esercizio mi chiede di calcolare eventuali massimi e minimi assoluti della funzione $f(x)=arccos[log(2x-1)]$
Ciò che mi domando è: bisogna proprio farne la derivata seconda? O.o
Ciò che mi domando è: bisogna proprio farne la derivata seconda? O.o
Risposte
Perchè la derivata seconda?!
Non basta la derivata prima?!
Non basta la derivata prima?!
con la derivata prima non vengo a conoscere la crescenza/decrescenza della funzione?
Certo, se poni $f'(x)>0$ studi la monotonia della funzione, mentre ponendo $f'(x)=0$ trovi le ascisse di eventuali punti di massimo o di minimo, che sono i punti in cui cambia la monotonia della funzione. Vedi un pò la teoria...
giusto, mi sono confuso con la concavità/convessità.. ma qual è la differenza tra $f'(x)=0$ e $f''(x)=0$ nello studio di una funzione? il primo mi dà informazioni sui punti in cui la derivata prima è nulla, cioè punti in cui si hanno max e min; il secondo invece mi dà info sui punti in cui la concavità cambia no?
Si ti dà informazioni sui possibili punti di flesso, cioè punti dove la funzione cambia la concavità...
Grazie, e se per caso la traccia mi chiedesse di studiare la derivabilità di questa funzione, potrei studiare l'insieme di definizione di $f'(x)$?
Beh dipende, un punto di partenza sicuramente è vedere dove la funzione è definita e dove è definita la sua derivata...
se trovo dei punti in cui è definita la funzione ma non è definita la sua derivata devo calcolare il limite per quel punto e constatare la presenza di flessi, punti angolosi/cuspidi?
Io farei in questo modo:
So che $f(x)$ è sicuramente derivabile eccetto in un punto $x_0$, quindi calcolo:
$lim_(x->x_0^- )(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x->x_0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
Se i 2 limiti esistono finiti e sono uguali allora $f(x)$ è derivabile in $x_0$.
Se i 2 limiti esistono finiti ma sono diversi tra loro allora $x_0$ è punto angoloso.
Se i 2 limiti esistono infiniti e sono di segno concorde ( quindi diremo che il rapporto incrementale è $+infty$ o $-infty$), allora $x_0$ è punto a tangente verticale.
Se i 2 limiti sono entrambi infiniti ma di segno discorde, allora $x_0$ è un punto di cuspide.
Non so cosa succede se non esiste il limite del rapporto incrementale però
So che $f(x)$ è sicuramente derivabile eccetto in un punto $x_0$, quindi calcolo:
$lim_(x->x_0^- )(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x->x_0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
Se i 2 limiti esistono finiti e sono uguali allora $f(x)$ è derivabile in $x_0$.
Se i 2 limiti esistono finiti ma sono diversi tra loro allora $x_0$ è punto angoloso.
Se i 2 limiti esistono infiniti e sono di segno concorde ( quindi diremo che il rapporto incrementale è $+infty$ o $-infty$), allora $x_0$ è punto a tangente verticale.
Se i 2 limiti sono entrambi infiniti ma di segno discorde, allora $x_0$ è un punto di cuspide.
Non so cosa succede se non esiste il limite del rapporto incrementale però
[OT, freddura polare]
Siamo sicuri che non si tratti di una derivata ostrica?
[/OT]
Siamo sicuri che non si tratti di una derivata ostrica?
[/OT]
"gugo82":
[OT, freddura polare]
Siamo sicuri che non si tratti di una derivata ostrica?
[/OT]
A causa di questa tua orrida battuta, dovrai controllare la mia risposta e dissipare il mio dubbio per espiare questa tua colpa
@Obidream: Ti accontento.
Tutto giusto, a patto di aggiungere che \(f\) è continua in \(x_0\).
Semplicemente la funzione non è derivabile ed il punto di non derivabilita \(x_0\) non rientra nella casistica precedente.
"Obidream":
So che $f(x)$ è sicuramente derivabile eccetto in un punto $x_0$, quindi calcolo:
$lim_(x->x_0-)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x->x_0+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
Se i 2 limiti esistono finiti e sono uguali allora $f(x)$ è derivabile in $x_0$.
Se i 2 limiti esistono finiti ma sono diversi tra loro allora $x_0$ è punto angoloso.
Se i 2 limiti esistono infiniti e sono di segno concorde ( quindi diremo che il rapporto incrementale è $+infty$ o $-infty$), allora $x_0$ è punto a tangente verticale.
Se i 2 limiti sono entrambi infiniti ma di segno discorde, allora $x_0$ è un punto di cuspide.
Tutto giusto, a patto di aggiungere che \(f\) è continua in \(x_0\).
"Obidream":
Non so cosa succede se non esiste il limite del rapporto incrementale però
Semplicemente la funzione non è derivabile ed il punto di non derivabilita \(x_0\) non rientra nella casistica precedente.
Grazie 
A noi l'esercitatore raccomandava sempre di usare il rapporto incrementale, ma non ricordo il motivo..
A noi l'esercitatore raccomandava sempre di usare il rapporto incrementale, ma non ricordo il motivo..
"Obidream":
Grazie
Perché la derivata è definita come limite del rapporto incrementale, ovviamente.
"gugo82":
[quote="Obidream"]Grazie
Perché la derivata è definita come limite del rapporto incrementale, ovviamente.[/quote]
sisi, però lui diceva che non conviene usare $ f '(x)$ ma il rapporto incrementale perché altrimenti non so che poteva succedere
io per evitare problemi uso sempre il rapporto incrementale, tanto le funzioni che capitano non sono mai elementari quindi non vorrei incappare in qualche errore
quindi il limite del rapporto incrementale genera meno errori rispetto a $lim_{x->x_0}f'(x)$?
ho calcolato che $f'(x)=2/((1-2x)sqrt(1-log^2(2x-1)))$.. quindi $f'(x)>0:\{(2>0),((1-2x)sqrt(1-log^2(2x-1))>0):}$
la radice al denominatore è positiva per tutto l'insieme di definizione $[(1+e)/(2e),(1+e)/2]$, quindi basta calcolare $1-2x>0\rightarrow x<1/2$, quindi la funzione è negativa per $x>1/2$ e sembra avere massimo in quel punto.. è tutto ok il ragionamento?
la radice al denominatore è positiva per tutto l'insieme di definizione $[(1+e)/(2e),(1+e)/2]$, quindi basta calcolare $1-2x>0\rightarrow x<1/2$, quindi la funzione è negativa per $x>1/2$ e sembra avere massimo in quel punto.. è tutto ok il ragionamento?
Si la classificazione è giusta.
Volevo solo precisare una cosa riguarda la tua ultima frase:
Se rileggi quello che hai scritto ti rispondi da solo. La derivata essendo limite di un rapporto incrementale, per esistere deve verificare la condizione di esistenza del limite, e cioè $lim_(x->x_o^-)f(x)=lim_(x->x_o^+)f(x)$. Quindi nel momento in cui questo non accade allora si va incontro alla non esistenza della derivata prima. Un esempio semplice è la funzione $y=|x|$ che è continua in $x_o=0$ ma non è derivabile in tale punto.
EDIT: Ops...non mi sono accorto delle altre risposte...chiedo scusa per aver ripetuto cose ovvie!
Volevo solo precisare una cosa riguarda la tua ultima frase:
Non so cosa succede se non esiste il limite del rapporto incrementale però
Se rileggi quello che hai scritto ti rispondi da solo. La derivata essendo limite di un rapporto incrementale, per esistere deve verificare la condizione di esistenza del limite, e cioè $lim_(x->x_o^-)f(x)=lim_(x->x_o^+)f(x)$. Quindi nel momento in cui questo non accade allora si va incontro alla non esistenza della derivata prima. Un esempio semplice è la funzione $y=|x|$ che è continua in $x_o=0$ ma non è derivabile in tale punto.
EDIT: Ops...non mi sono accorto delle altre risposte...chiedo scusa per aver ripetuto cose ovvie!
ok grazie, e nel caso in cui la traccia mi chiedesse anche di calcolare massimi e minimi assoluti eventuali? l'insieme di definizione è un intervallo chiuso e limitato quindi secondo il teorema di Weierstrass ci sarebbero.. come posso orientarmi?
potrei semplicemente concludere dicendo che, essendo la derivata continua nell'intervallo suddetto e non essendoci punti stazionari, siccome la funzione è decrescente automaticamente ci sarà $MAX=f((e+1)/(2e))$ e $min=f((e+1)/2)$?
potrei semplicemente concludere dicendo che, essendo la derivata continua nell'intervallo suddetto e non essendoci punti stazionari, siccome la funzione è decrescente automaticamente ci sarà $MAX=f((e+1)/(2e))$ e $min=f((e+1)/2)$?
Avevo trovato un esercizio simile con una funzione decisamente più semplice ed applicando lo stesso procedimento avevo fatto giusto quindi credo di si
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