Derivata ortogonale $\Rightarrow$ norma costante?

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Se la norma di una funzione vettoriale \(f:[a,b]\to\mathbb{R}^n\) rimane costante, la sua derivata è ortogonale a $f$, infatti la derivata del quadrato della norma è nulla perché quest'ultima è costante e perciò\[\frac{d\|f(t)\|^2}{dt}=\frac{d(f(t)\cdot f(t))}{dt}=2 f(t)\cdot f'(t)=0\] e perciò \(f(t)\cdot f'(t)=0\).
Mi chiedevo se possa valere anche il contrario: se $f$ è ortogonale a \(f'\) la sua norma è necessariamente costante? Se sì, come si può vedere?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[vict85]

Si ha che \(\displaystyle \frac{d}{dt}\lVert f\rVert^2 = \frac{d}{dt} \sum_i f_i^2 = \sum_i 2f_if_i' = 2 f\cdot f' = 0\) nelle tue ipotesi.

[DavideGenova1]

Ehm, è vero, certo... $\infty$
grazie!