Derivata nulla in un intervallo

[Marcel1]

ciao,
esiste un teorema che affermi che derivata di una funzione f continua in un interballo a b estremi inclusi non possa annullarsi in alcun intervallo interno ad ab???
grazie

[gugo82]

In generale no.
Ad esempio la funzione:

[tex]f(x)=\begin{cases} x^2 &\text{, se } x\leq 0 \\ 0 &\text{, se } 0\leq x \leq 1 \\ (x-1)^2 &\text{, se } x\geq 1\end{cases}[/tex]

è continua e derivabile in [tex]\mathbb{R}[/tex] con derivata continua, epperò [tex]f^\prime (x)=0[/tex] in [tex][0,1][/tex].

Ma vale il teorema sulla stretta monotonia, cioè:

[tex]f(x) \text{ str. crescente [risp. decrescente] e derivabile in $]a,b[$} \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow f^\prime(x) \geq 0 \text{ [risp. $f^\prime (x)\leq 0$] e non esiste alcun intervallo $[\alpha ,\beta] \subseteq [a,b]$ tale che $f^\prime (x)=0$ in $[\alpha ,\beta]$}[/tex].

[Marcel1]

si capisco l'esempio che hai portato io cmq mi riferivo a funzioni elementari
esiste un tale tipo di teorema per le funzioni elementari?

[gugo82]

Definisci funzioni elementari...

Insomma cosa cerchi? Un teorema per evitare lo studio della derivata prima?

[Marcel1]

assolutamente no,
ho solo notato che nessuna funzione elementare possiede derivata nulla in un intervallo e mi chiedo se esista un teorema che affermi e dimostri questa circostanza

per funzioni elementari vedi qui: http://www.batmath.it/matematica/fondam ... z_elem.htm

[gugo82]

Beh, innanzitutto la cosa che chiedi è falsa, poiché le funzioni costanti hanno derivata nulla ovunque.

Se poi ti va di escludere dalle tue considerazioni le funzioni costanti... Il teorema non vale ugualmente.
Infatti la funzione elementare [tex]|x|+|x-1|-1[/tex] ha derivata nulla in [tex]]0,1[[/tex].

Allora dovresti escludere le funzioni elementari che non sono derivabili ovunque... Eh, qui si devono fare un po' di conti in più, ma penso che il controesempio lo trovi lo stesso.